Advertisement

Der Raum

  • F. Lindemann
  • L. Lindemann

Zusammenfassung

Jede Schlußfolgerung stützt sich auf Voraussetzungen; diese Voraussetzungen selbst sind entweder an sich evident und bedürfen keines Beweises oder sie können nur dadurch gesichert werden, daß man sich auf andere Sätze stützt; und weil man so nicht ins Unendliche fortfahren kann, so beruht jede deduktive Wissenschaft und besonders die Geometrie auf einer gewissen Anzahl von unbeweisbaren Axiomen. Alle Lehrbücher der Geometrie beginnen daher mit der Aufzählung dieser Axiome. Aber man muß einen Unterschied zwischen letzteren machen: einige, wie z. B.: „Zwei Größen, die einer und derselben dritten gleich sind, sind untereinander gleich”, sind nicht Behauptungen der Geometrie, sondern analytische Sätze. Ich betrachte sie als analytische Urteile a priori und beschäftige mich nicht weiter mit ihnen.15)

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Referenzen

  1. 15).
    S. 36. Der Grundsatz: „Zwei Größen, die einer und derselben dritten gleich sind, sind untereinander gleich“ ist rein analytisch, wenn man ihn (wie es in modernen elementaren Büchern meist geschieht) auf Zahlengrößen bezieht. Wenn dieser Satz aber auch unter Euklids Axiomen erscheint und wenn man bedenkt, daß dem Altertume die Identifizierung von geometrischen Größen mit Zahlen vollkommen fernlag, so muß man jenem Grundsatze bei Euklid eine rein geometrische Bedeutung beilegen, wie ich in meiner Darstellung der nicht-Euklidischen Geometrie (Vorlesungen über Geometrie unter Benutzung der Vorträge von Alfred Clebsch, 2. Bandes 1. Teil, Leipzig 1891, p. 555) näher ausgeführt habe. Der Satz ist nichts anderes als eine Definition der Gleichheit geometrischer Figuren, die nicht direkt aufeinander gelegt werden können; denn durch das vierte Axiom von Euklid werden solche Figuren als gleich definiert, die man durch Bewegung zur Deckung bringen kann. Die sogenannten Axioma (ϰοιναί ἔννoιαι) Euklids sind nach den von mir a. a. 0. gegebenen Ausführungen ebenso als Definitionen aufzufassen, wie Poincare dies für andere Grundsätze Euklids im vorliegenden Werke in Anspruch nimmt. Über die von Euklid benutzen „Bewegungen“ vgl. unten Anmerkung 27.Google Scholar
  2. 16).
    S. 37. Mit der geraden Linie als kürzester Linie zwischen zwei Punkten beschäftigt sich eingehend (auf Grund der Methoden der Variationsrechnung) P.du Bois-Reymond Math. Anna1en Bd. 15, 1879. Vgl. dazu Scheeffer, Acta math. Bd. 5, S. 49 ff., 1883.Google Scholar
  3. 17).
    S. 37. Lobatschewskys erste Arbeiten wurden 1829–38 in Kasan veröffentlicht, dann 1837 in Bd. 17 von Crelles Journal; seine Theorie der Parallelen ist in Ostwalds Klassiker-Bibliothek (Nr. 130) wieder abgedruckt; Bolyais Hauptwerk erschien 1832; auch Gauß, der mit letzterem in Verbindung stand, beschäftigte sich mit ähnlichen Gedanken in seinen Briefen an Schumacher (aus dem Jahre 1831, vgl. Gesammelte Werke Bd. 8). Über die Geschichte des Problems vgl. Stäckel und Engel: Die Theorie der Parallellinien von Euklid bis auf Gauß, Leipzig 1895, und von denselben Verfassern: Urkunden zur Geschichte der nicht-Euklidischen Geometrie, Leipzig 1899, ferner: Briefwechsel zwischen Gauß und Bolyai, herausgegeben von Schmidt und Stäckel, Leipzig 1899 und Bonola, Die nicht-Euklidische Geometrie, deutsch von Lieb-mann, Leipzig 1908. Ein Verzeichnis aller Schriften über nicht-Euklidische Geometrie findet sich in der von der Universität Klausenburg herausgegebenen Festschrift: Libellus post saeculum quam Ioannes Bolyai de Bolya anno 1802 a. D. Claudiopoli natus est ad cele-brandam memoriam eius immortalem.... editus, Claudiopoli, 1902.Google Scholar
  4. 18).
    S. 37. Die genannte Abhandlung Riemanns wurde von ihm am 10. Juni 1854 bei dem zum Zwecke seiner Habilitation (als Privatdozent) veranstalteten Kolloquium mit der philosophischen Fakultät in Göttingen vorgelesen. Dadurch erklärt sich der fragmentarische Charakter, indem analytische Entwicklungen für diesen Zweck möglichst vermieden werden mußten. Die Abhandlung wurde 1867 aus dem Nachlasse ihres Verfassers durch R.Dedekind zuerst veröffentlicht: Abhandlungen der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Bd. 13, abgedruckt in Riemanns gesammelten Werken, Leipzig 1876, S. 254 ff.; vgl. auch ib. S. 384, wo Dedekind im Anschlusse an eine andere Arbeit Riemanns einige analytische Erläuterungen gibt. Beltramis Abhandlung (Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante) erschien 1868: Annali di matematica, Serie II, t. 2 (vgl. dessen Opere matematiche). Die Arbeit von Helmholtz (Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen) ist gleichfalls 1868 veröffentlicht: Nachrichten der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Bd. 15 (vgl. dessen Wissenschaftliche Abhandlungen, Bd. 2, 1883); derselbe hat auch versucht, seine Anschauungen in allgemein verständlicher Weise darzulegen: Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome (Vorträge und Reden, Bd. 2, Braunschweig 1884). Durch die Arbeiten von F. Klein (Über die soge-nannte nicht-Euklidische Geometrie, Math. Annalen Bd. 4, 1871; Bd. 6, 1873; Bd. 7, 1874; Bd. 37, 1890), die sich an Cayleys Verallgemeinerung der Maßbestimmungs-Funktion (A sixth memoir upon quantics, Philosophical Transactions, vol. 149, 1859; Collected papers, vol. 2) anschlossen, hat die Behandlung der betreffenden Probleme neue Bahnen eingeschlagen; vgl. meine Darstellung dieser Theorien in dem Werke: Vorlesungen über Geometrie, bearbeitet unter Benutzung der Vorträge von A. Clebsch, Bd. II, Teil I, Leipzig 1891; ferner Killing: Die nicht-Euklidischen Raumformen in analytischer Behandlung, Leipzig 1885.Google Scholar
  5. 19).
    S. 39. In populärer und teilweise humoristischer Weise ist die Geometrie der zweidimensionalen Wesen behandelt in dem Werke: Flatland, A romance of many dimensions by A Square, London 1884. — Zweidimensionale Wesen haben natürlich große Schwierigkeiten im Studium der Geometrie, denn eine gezogene Linie verdeckt ihnen alles, was sich auf der einen Seite dieser Linie befindet; andererseits würden vierdimensionale Wesen mit Ebenen und Kugeln in analoger Weise leicht operieren (durch dem Lineal und Zirkel analoge Instrumente), wie wir es mit geraden Linien und Kreisen tun.Google Scholar
  6. 20).
    S. 40. Die Euklidische, Lobatschewskysche und Riemannsche Geometrie werden nach Klein in folgender Weise charakterisiert: In der ersten (derparabolischen Geometrie) verhalten sich die unendlich fernen Punkte wie Punkte einer Ebene (nach Poncelet), in welcher sich ein ausgezeichneter imaginärer Kegelschnitt befindet, der nach Chasles und La guerre zur Definition der Winkel dient; in der zweiten (der hyperbolischen Geometrie) haben wir statt der Ebene eine reelle, nicht geradlinige Flache zweiter Ordnung als Repräsentanten der unendlich fernen Punkte, in der dritten (der elliptischen Geometrie) eine imaginäre Fläche zweiter Ordnung. Der Satz, daß zwei Punkte ihre gerade Verbindungslinie eindeutig bestimmen, gilt gleichmäßig in allen drei Geometrien. Im dritten Falle kann man durch eine quadratische Transformation eine weitere Geometrie herstellen, bei der jedem Punkte ein anderer eindeutig derartig zugeordnet ist, daß beide zusammen eine gerade Linie nicht bestimmen. Wenn man die Riemannsche Geometrie der Ebene sich nach Riemann und Beltrami auf einer Fläche konstanten Krümmungsmaßes (insbesondere auf der Kugel) veranschaulicht (vgl. S. 41 ff. des obigen Textes), so hat man diesen Fall vor sich, in dem durch zwei Punkte unendlich viele geraden Linien hindurchgehen können (wie auf der Kugel unendlich “viele größte Kreise durch zwei diametral gegenüberliegende Punkte). Killing hat a. a. O. gezeigt, daß nie mehr als zwei Punkte einander so zugeordnet sein können; deshalb ist im Texte des vorliegenden Werkes von „zwei möglichen Formen” der Riemannschen Geometrie die Rede. Dieses Verhalten der Geometrie auf der Kugel hat Helmholtz zu der irrigen Ansicht geführt, daß eine solche paarweise Zuordnung der Punkte notwendig mit den Vorstellungen der Riemannschen Geometrie verbunden sei; und diese Ansicht findet man seitdem häufig vertreten, insbesondere z. B. bei Erdmann (Die Axiome der Geometrie, eine philosophische Untersuchung der Riemann — Helmholtzschen Raumtheorie, Leipzig 1877). Riemann selbst spricht sich nicht darüber aus, welche der beiden möglichen Formen ihm vorgeschwebt hat. Diese beiden Formen unterscheiden sich auch dadurch, daß bei der ersten der Raum durch eine Ebene (die Ebene durch eine gerade Linie) nicht in zwei getrennte Teile zerlegt werden kann, während dies in der zweiten Form möglich ist; vgl. mein oben erwähntes Werk, S. 527ff.Google Scholar
  7. 21).
    S. 40. Man beachte, daß das Wort „parallel“ in der Lobatschewskyschen Geometrie in doppeltem Sinne gebraucht wird. Entweder man nennt zwei Linien parallel, wenn sie sich nicht schneiden; dann gibt es unendlich viele Parallele zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt. Oder man nennt sie parallel, wenn sie sich im Unendlichen schneiden (d. h. wenn die eine bei Drehung um den festen Punkt diejenige Grenzlage erreicht, bei welcher der Schnittpunkt sich ins Unendliche entfernt); dann gibt es in der Lobatschewskyschen Geometrie nur zwei solche Parallele, aber außerdem noch unendlich viele Gerade, welche die gegebene Gerade nicht schneiden, und die man als ultraparallel bezeichnen könnte. — Die im Texte erwähnte Unterscheidung von „unbegrenzt“ und „unendlich“ hat Riemann a. a. 0. eingeführt.Google Scholar
  8. 24).
    S. 44. Wie man ein solches Wörterbuch durch Übersetzung der nicht — Euklidischen Geometrie in die projektivische Geometrie des Euklidischen Raumes herstellen kann, ist schon in Anmerkung 22) erwähnt (S. 273). Die Sätze der projektivischen Geometrie sind diejenigen, welche in den drei Geometrien von Euklid, Lobatschewsky und Riemann gleichzeitig Geltung haben, und von denen in der Fortsetzung des Textes gesprochen wird.Google Scholar
  9. 25).
    S. 45. Implizite Voraussetzungen macht man z. B. auch bei den Gesetzen der Anordnung, insbesondere beim Begriffe „zwischen“; vgl. Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, Leipzig 1882; ebenso wird (wie Stolz zuerst hervorhob) das sogenannte Archimedische Axiom (vgl. oben S. 49) meist implizite vorausgesetzt; dasselbe kann auch in der Weise formuliert werden, daß ein Teil einer Strecke AB von A aus in der Richtung auf B wiederholt abgetragen, stets nach einer endlichen Anzahl von Abtragungen zu einem Punkte führt, der über B hinaus liegt; vgl. Veronese, Grundzüge der Geometrie, deutsch von Schepp, und Stolz: Berichte des naturw.-mediz. Vereins in Innsbruck, XII, 188½, und Math. Annalen Bd. 39, 1891. Für die ebene Geometrie hat Hilbert gezeigt, daß dieses Axiom in der Tat von den übrigen Axiomen unabhängig ist, indem er eine Geometrie konstruierte, die unabhängig von diesem Axiome besteht (vgl. dessen Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen, Leipzig 1899; 2. Autl. 1904, 3. Aufl. 1909). Vgl. dazu: Schur, Math. Annalen Bd. 55, 1900 und Bd. 59, 1904; Veronese, Rendiconti della R. Accademia dei Lincei, cl. fis. e mat., 2. April 1905; Po., W.u. M. S. 132. Insbesondere behandelt Hilbert (a. a. O. S. 43ff.) die Sätze über inhaltsgleiche Dreiecke, die bei Euklid (Buch I, Satz 39) nach ihm nur durch Berufung auf einen allgemeinen Größensatz gelingt (τὸ ὃλoν τoῦ μέϱoυς μεῖζόν ἐστιν); nach der oben (S. 261) gemachten Bemerkung ist dies aber nicht ein allgemeiner Größensatz, sondern ein spezieller Grundsatz zurDefinition des Begriffes „größer“ bei geometrischen Figuren; vgl. oben Anmerkung 15. Auch Schur (Sitzungsberichte der Dorpater naturforschenden Gesellschaft, 1892, und Math. Annalen Bd. 57) hebt hervor, daß zum exakten Beweise der Flächengleichheit zweier Figuren ein neues (sonst stillschweigend vorausgesetztes) Axiom nötig sei, nach welchem eine Fläche keinem ihrer Teile inhaltsgleich sein kann; nach meiner Auffassung ist jener Grundsatz Euklids mit diesem Axiome identisch.Google Scholar
  10. 26).
    S. 47. Fast genau so definiert z. B. P. du Bois-Reymond die Gerade (vgl. S. 97 f. in dessen oben citier-tem Werke), aber unter weniger scharfer Trennung von Axiom und Definition; Euklids Definition: „eine gerade Linie liegt gleichmäßig zwischen zwei Punkten“ ist auch nur verständlich und fruchtbar, wenn man sie in gleichem Sinne auffaßt.Google Scholar
  11. 27).
    S. 47. Die in den letzten Entwicklungen vom Verfasser mit Recht gerügte Unklarheit inbezug auf die Definition von Gleichheit und Bewegung findet sich insbesondere auch in allen mir bekannten deutschen Lehrbüchern der Elementar-Geometrie. Anders ist es aber, wenn man Euklids Darstellung im Originale zu Rate zieht. Durch die mit Unrecht als allgemeine Größenaxiome bezeichneten Sätze führt er die Beurteüung der Gleichheit, des „größer“ und des „kleiner“ auf Bewegung zurück; vgl. oben die Anmerkung 15. Wie man aber eine Bewegung auszuführen hat, lehrt der zweite Satz im ersten Buche Euklids; denn dort wird gezeigt, wie man eine gegebene Strecke durch Konstruktion mittelst Kreis und Lineal von einer Stelle der Ebene an eine beliebige andere Stelle übertragen kann; Konstruktionen mit Kreis und Lineal aber sind vorher in den Postulaten ausdrücklich als ausführbar vorausgesetzt. Dadurch ist es möglich, ein durch seine drei Seiten gegebenes Dreieck an eine beliebige Stelle der Ebene zu bringen, somit den betr. Kongruenzsatz (Satz 8 bei Euldid) zu beweisen und dann auch die in Satz 23 gelehrte Winkelübertragung auszuführen. Hierdurch ist also auf Grund der Postu-late genau definiert, wie eine „Bewegung“ in jedem einzelnen Falle auszuführen ist; in der Tat enthält der zweite Satz des Euklid nichts anderes als den wichtigen Satz unserer Kinematik, daß jede Bewegung der Ebene auf eine Rotation (eventuell Parallelverschiebung, d. h. Rotation um einen unendlich fernen Punkt) zurückgeführt werden kann. Es handelt sich also nicht darum, eine Figur mit einer andern mechanisch (etwa durch Herausheben aus der Ebene) zur Deckung zu bringen, sondern durch eine vorgeschriebene Konstruktion eine Figur in eine andere überzuführen; dabei kann die erstere auch durch ihr Spiegelbild ersetzt werden, indem man die betr. Konstruktion symmetrisch abändert. Dadurch wird es erklärlich, daß bei Euklid nicht unterschieden wird, ob kongruente Figuren direkt oder nur mit Hilfe einer Spiegelung in einander übergeführt werden können. Ein entsprechender Satz gehört unbedingt an den Beginn eines jeden elementaren Lehrbuches; und es ist bedauerlich, wenn die hohe Bedeutung desselben in modernen Darstellungen der Elementar-Geometrie so gänzlich verkannt wird, daß man ihn mit Stillschweigen übergeht (vgl. auch S. 556 meines oben erwähnten Werkes). Tut man dieses, so muß man allerdings bei der Bewegung von Dreiecken in der Ebene (also schon bei den Kongruenzsätzen) von neuem auf direkte Anschauung zurückgreifen, was nach Aufstellung der Definitionen, Postulate und Axiome nicht mehr geschehen soll (wenigstens nur noch in heuristischem oder pädagogischem Interesse geschehen darf).Google Scholar
  12. 28).
    S. 47. Die Notwendigkeit, diese Möglichkeit explizite vorauszusetzen, haben Graßmann und Helmhol tz besonders betont; vgl. unten die Anmerkung 34.Google Scholar
  13. 29).
    S. 48. Diese „vierte Geometrie“ entsteht, wenn man annimmt, daß wir uns in demjenigen Teile des Raumes befinden, von dessen Punkten reelle Tangentenkegel an die in Anmerkung 20) erwähnte reelle unendlich ferne Fläche zweiter Ordnung gelegt werden können. Von einer jeden reellen Tangente dieser Fläche kann dann gesagt werden, daß sie zu sich selbst senkrecht steht. Diese Geraden würden vor allen anderen ausgezeichnet sein und könnten durch Bewegungen nur untereinander, nicht mit anderen Geraden vertauscht werden. Noch verwickelter werden die Verhältnisse, wenn die unendlich ferne Fläche zweiter Ordnung reelle gerade Linien enthalten sollte.Google Scholar
  14. 30).
    S. 48. Vgl. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Bd. 3, Leipzig 1893, S. 521. Ich kann dies Werk nicht citieren, ohne auf die Kritik einzugehen, die Lie darin an meiner Bearbeitung der nicht-Euklidischen Geometrie übt. Schon in der Vorrede (S. XIII) sagt er, daß sich bei mir (und anderen) eine Reihe von groben Fehlern fänden, die darin ihren Grund hätten, daß die Verfasser nur mangelhafte oder gar keine gruppentheoretischen Kenntnisse besäßen. Allerdings baut Lie seine Theorie darauf auf, daß er die Bewegungen durch -ihre Gruppeneigenschaft definiert; aber deshalb ist es doch nicht unerlaubt, von anderen Definitionen auszugehen, aus denen dann umgekehrt die Gruppeneigenschaft folgt; und das ist der von mir eingeschlagene Weg, bei dem von Gruppentheorie in der Tat gar nicht die Rede ist. Der von mir befolgte Gedankengang ist vielmehr kurz folgender: Nachdem die Koordinaten eines Punktes im Raume definiert sind, ohne daß der Begriff der Entfernung oder des Winkels angewandt wurde, und nachdem damit die projektivische Geometrie in vollem Umfange begründet war, handelte es sich darum, zu den spezielleren Sätzen der metrischen Geometrie durch Einführung von „Winkel“ und „Entfernung“ überzugehen. Zuerst entstand die Frage: Welche Transformationen der Koordinaten sollen als Bewegungen definiert werden? Ich charakterisierte sie durch folgende Eigenschaften a) Jeder Punkt geht wieder in einen Punkt über. b) Jede Ebene geht wieder in eine Ebene über. c) Jeder Punkt kann in jeden andern durch Bewegung übergeführt werden, ebenso jede Gerade (es gibt keine ausgezeichneten Punkte oder Richtungen). Für den Fall, daß reelle unendlich ferne Punkte existieren, ist hiermit alles bestimmt (d. h. Bev/egung, Entfernung und Winkel sind definiert), wenn man noch die weitere Festsetzung macht: d) Es kann durch Bewegung kein Punkt verschwinden und keiner neu entstehen (d. h. unendlich ferne und ideale Punkte, bleiben unendlich fern, bez. ideal). Die hyperbolische Geometrie ist hiermit erledigt, und nur der Grenzfall, wo die unendlich ferne Fläche in eine Doppelebene ausartet, bedarf noch der näheren Betrachtung. Wenn keine unendlich fernen Elemente existieren, ist auf jeder Geraden eine Involution als gegeben vorauszusetzen, die jedem Punkte einen zweiten zuordnet, so daß sich beide bei einer gewissen Bewegung miteinander vertauschen; die Festsetzung d) ist dann durch die folgende zu ersetzen: d’) Die auf den verschiedenen Geraden vorausgesetzten Involutionen gehen durch Bewegung ineinander über. Dann ist auch für die elliptische Geometrie alles erledigt. Man kann auch die zu d’) dualistische Festsetzung machen, daß durch jeden Strahl eine ausgezeichnete Ebenen-Involution gegeben ist und daß alle diese Involutionen durch Bewegung ineinander übergehen (was dem Euklidischen Postulate entspricht, nach dem alle rechten Winkel einander gleich sind). Dies gilt gleichmäßig für die elliptische, hyperbolische und parabolische Geometrie; und man hat den Vorteil, diese drei Geometrien zunächst noch gemeinsam behandeln zn können; dieselben werden dann durch das verschiedene Verhalten der unendlich fernen Punkte nachträglich unterschieden. Artet die imaginäre Fundamentalfläche in einen Kegelschnitt aus, so entsteht der Grenzfall der parabolischen Geometrie; in dieser müssen noch die Ähnlichkeitstransformationen von den Bewegungen getrennt werden, was durch die Festsetzung geschieht, daß der Kreis eine geschlossene Kurve sei (wie es auch Euklid ausdrücklich postulieren muß). Besonders dieser letztere Punkt gibt Lie Veranlassung zu seiner Kritik, welche aber nur auf einem Mißverständ-nisse beruht: Lie definiert die Bewegungen als eine Untergruppe der projektiven Gruppe (Kollineationen), die von sechs Parametern abhängt. Die Ähnlichkeitstransformationen im Räume hängen aber von sieben Parametern ab und enthalten als einzig mögliche Untergruppe die Bewegungen; letztere sind also bei Lie schon dadurch definiert, daß die Zahl der Parameter vorgegeben war, so daß Lie keine weitere Festsetzung braucht. Bei mir dagegen ist nirgends verlangt, daß die Bewegungen von nur sechs Parametern abhängen sollen; zum Schlüsse mußte daher in der parabolischen Geometrie noch eine Festsetzung hinzukommen. Bei Lie und mir sind also verschiedene Ausgangspunkte gewählt, die Resultate stimmen aber überein. Betrachtet man die ebene Geometrie allein (unabhängig vom Räume), so hat auch Lie noch die Festsetzung nötig, daß der Kreis (d. i. der Ort der Punkte, welche von einem festen Punkte gleiche Entfernung haben: Axiom der Monodromie von Helmholtz) eine geschlossene Kurve ist; denn in der Ebene erlauben die Ähnlichkeitstransformationen noch Untergruppen (vgl. auch S. 565 in dem Aufsatze von Klein, Math. Annalen Bd. 37). Was Lie ferner a. a. 0. S. 529 gegen meine Darstellung einwendet, bezieht sich nur auf eine Bemerkung über Helmholtz und eine andere über Lie selbst. Ich hatte geäußert, Helmholtz setze implicite voraus, daß die Bewegungen durch lineare Transformationen darstellbar seien; nur unter dieser Voraussetzung war es mir nämlich gelungen, den Helmholtz sehen Rechnungen einen annehmbaren Sinn unterzulegen; und darin stimmt Lie mit mir vollkommen überein (geht sogar noch weiter, indem er die Helmholtzschen Entwicklungen überhaupt für verfehlt erklärt, wie auch Klein äußert: „Helmholtz hat hier wie allerwärts in genialer Weise die richtigen allgemeinen Gesichtspunkte erfaßt, die Einzelausführung aber befriedigt nur wenig“, Math. Annalen Bd. 50); die Differenz liegt nur darin, daß er eine von mir bei dieser Gelegenheit citierte Stelle aus Helmholtz’ populären Vorträgen anders versteht als ich, worauf es hier aber gar nicht ankommt, da diese Stelle verschieden aufge-faßt werden kann. Was endlich meine Bemerkung über Lie betrifft, so lag mir bei Abfassung des Werkes (1890) nur die Arbeit von Lie aus dem Jahre 1886 vor, von welcher er selbst sagt (a. a. 0. S. 399), daß sie die Resultate nur andeutet, und die keine Beweise enthielt; so ist es begreiflich, daß ich die betr. Stelle (über das erwähnte Monodromieaxiom) nicht so verstand, wie Lie sie gemeint hatte. Ich schrieb damals an Lie, mit dem ich bis dahin in steter Verbindung stand, und bat ihn um Mitteilung einer etwa in nächster Zeit erscheinenden Fortsetzung, die dann auch noch 1890 erschien, mir aber erst später zugänglich wurde, da ich von Lie keine Antwort erhielt. Um nun zur Sache zurückzukehren, muß beachtet werden, daß die Liesche Gruppentheorie sich nur auf Zahlenmannigfaltigkeiten bezieht, also erst dann zur Anwendung kommen kann, wenn man die Punkte des Raumes schon durch Koordinaten ausgedrückt hat; dann aber ist man in der projektiven Geometrie schon so weit vorgedrungen, daß der von mir eingeschlagene Weg (oder ein ähnlicher) mindestens der einfachere ist. Hilbert hat ein System von Axiomen aufgestellt, das ebenfalls auf dem Begriffe der Gruppe beruht, aber die (von Lie benutzte) Differentiierbarkeit der die Bewegung vermittelnden Funktionen nicht voraussetzt (Math. Annalen Bd. 56, 1902). Es wurde soeben bemerkt, daß in der Ebene, wenn die projektivische Geometrie als gültig erkannt ist, noch Gruppen von Bewegungen möglich sind, bei denen der Kreis keine geschlossene Kurve ist und dann nur durch eine logarithmische Spirale ersetzt werden kann (worauf der Helmholtzsche Ansatz im wesentlichen beruht). Vgl. auch: Hilbert (London, Math. Society, vol. 35, abgedruckt als Anhang zur 3. Aufl. seiner „Grundlagen der Geometrie“), und oben S. 49. Endlich macht Lie (a. a. O. S. 810f.) noch einen sachlichen Einwurf, indem er sagt: „Lindemann bezeichnet diese Punkte (die bei der Bewegung einer Geraden in sich fest bleiben) als die unendlich fernen Punkte der betreffenden Geraden, er setzt aber stillschweigend voraus, daß ein Punkt, der in diesem Sinne unendlich ferner Punkt einer Geraden ist, auch auf jeder anderen durch ihn gehenden Geraden unendlich fern sei.“ Diese Bemerkung ist nicht richtig; denn ich setze fest (S. 465 u. 540 a. a. 0.), daß sich schneidende Linien durch Bewegung wieder in sich schneidende übergehen, also sich nicht schneidende in sich nicht schneidende; das heißt aber: wirkliche Punkte bleiben wirklich, ideale Punkte bleiben ideal, also auch die Grenzpunkte zwischen beiden (d. h. die unendlich fernen Punkte) bleiben solche Grenzpunkte (d. h. unendlich fern); also die unendlich fernen Punkte einer Linie gehen in die unendlich fernen Punkte jeder andern durch Bewegung über; insbesondere gut dies für die Drehung um einen unendlieh fernen Punkt. Ein unendlich ferner Punkt einer Geraden ist folglich auch unendlich ferner Punkt jeder anderen durch ihn gehenden Geraden. Die betr. Voraussetzung ist also nicht stillschweigend gemacht, vielmehr eine Folge des Postulates, daß durch Bewegung kein neuer Punkt entstehen soll.Google Scholar
  15. 31).
    31a) S. 49. Die nicht-Archimedische Geometrie und andere Geometrien hat Hubert studiert; vgl. oben die Angaben in Anmerkung 25 und 30, ferner Minkowski (Geometrie der Zahlen, Heft 1, Leipzig 1896); hier gibt es im allgemeinen keine Bewegungen mehr, aber die gerade Linie bleibt die kürzeste Linie.Google Scholar
  16. 32).
    S. 51. Die sogenannte projektivische Geometrie beschäftigt sich mit denjenigen Sätzen, welche bei beliebigen Projektionen oder Kollineationen ungeändert bleiben, und welche daher mit der Theorie der algebraischen Formen und deren Invarianten, bez. Kovarian-ten aufs engste zusammenhängen; der metrischen Geometrie rechnet man die übrigen Sätze zu. Vgl. oben Anmerkung 24, sowie die lichtvolle Darstellung dieser und ähnlicher Verhältnisse in Kleins Programmabhandlung: Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Erlangen 1872 (abgedruckt in Bd. 43 der Math. Annalen). — Manche allgemeine Fragen der hier und im vorstehenden behandelten Art findet man auch bei Hölder besprochen: Anschauung und Denken in der Geometrie, Akademische Antrittsvorlesung, Leipzig 1900.Google Scholar
  17. 33).
    S. 53. In der Tat kann man sich durch andauernde Beschäftigung mit vierdimensionaler Geometrie eine solche Gewandtheit in der betreffenden geometrischen Schlußweise aneignen, daß man sich fast der Täuschung hingibt, wirklich mit vier Dimensionen zu operieren. Teils findet dies darin seine Erklärung, daß jedes geometrische Gebilde, das im Räume von vier Dimensionen liegt, selbst mindestens drei Dimensionen besitzt, so daß es auf unseren Raum bezogen („abgebildet“) werden kann, und daß man so unsere gewöhnliche Geometrie auf jenes Gebilde zu übertragen vermag, teils darin, daß die geometrischen Schlüsse für den Raum von vier Dimensionen eigentlich rein logischer Natur sind und durch den Gebrauch geometrischer Worte sich nur scheinbar in geometrisches Gewand kleiden. Etwas anderes ist es, wenn man sich die Punkte der vierdimensionalen Welt durch eine „Abbildung“ auf die geraden Linien unseres Raumes überträgt; denn letztere bilden tatsächlich eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit. Man betrachtet dann nicht den Punkt, sondern die gerade Linie als erzeugendes Element für räumliche Konstruktionen, und das ist in der neueren Geometrie ein äußerst fruchtbares Prinzip gewesen; die Begründung dieser sogenannten Liniengeometrie verdankt man Plücker (Neue Geometrie des Raumes, Leipzig 1868 und 1869; vgl. auch die entsprechenden Kapitel in meinem mehrfach citierten Werke); für die Beziehungen zur vierdimensionalen Geometrie vgl. Klein: Math. Annalen Bd. 5, 1872, für die historische Entwicklung der Disziplin und überhaupt der neueren Geometrie: Clebsch: Zum Gedächtnis an Julius Plücker, Abhandlungen der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1872; ferner: R. F. A. Clebsch, Versuch einer Darlegung und Würdigung seiner wissenschaftlichen Leistungen, Math. Annalen Bd. 7; d’Ovidio: Uno sguardo alle origini ed allo sviluppo della mate-matica pura, Discorso in occasione della solenne aper-tura degli studi nella R. University di Torino, 4. November 1889; und A. Cayley: Presidential Address, Report of the Brit. Association for the advancement of science, Southport meeting, London 1883.Google Scholar
  18. 34).
    S. 54. Das in den beiden letzten Forderungen gebrauchte Wort „identisch“ bedarf wohl noch näherer Erklärung; es entsteht hier dieselbe Schwierigkeit, wie bei dem Begriffe der Gleichheit, vgl. oben die Anmerkung 27). Die Forderung der Homogenität sagt aus, daß jeder Punkt mit jedem andern Punkte durch „Bewegung“ zur Deckung gebracht werden kann, die Forderung der Isotropie, daß alle durch einen Punkt gehenden Geraden durch Drehung um diesen Punkt zur Deckung gebracht werden können. Helmholtz stellt statt dessen die Forderung (a. a. 0.), daß der Raum eine „in sich kongruente“ Mannigfaltigkeit sei, Graß-mann fordert, daß gleiche Konstruktionen, an verschiedenen Orten und nach verschiedenen Richtungen des Raumes ausgeführt, zu kongruenten Figuren führen, Rie-mann drückt dasselbe durch die Forderung eines konstanten Krümmungsmaßes aus; wie ich (a. a. O. S. 548) betont habe, ist Euklids Postulat, wonach alle rechten Winkel einander „gleich“ (d. h. durch Bewegung ineinander überführbar) sind, mit dieser Forderung der Homogenität und der Isotropie des Raumes äquivalent. — Auch weiter unten (S. 65 f. des obigen Textes) werden diese Forderungen auf gewisse Bewegungen zurückgeführt.Google Scholar
  19. 35).
    S. 54. Daß in der Tat durch die Empfindungen der Netzhaut allein niemals eine dritte Dimension erkannt werden könnte, hat besonders Th. Lipps gegenüber andern Theorien scharf betont: Psychologische Studien, Heidelberg 1885. Für verschiedene Theorien der Raumvorstellung sei hier außerdem auf folgende Werke verwiesen: Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, Bd. 1, 1868, Bd. 2, 1869; Wundt, Logik, Bd. 2, 1883; Stumpf, Über den psychologischen Ursprung der Raumvorstellung, 1873; B. Erdmann, Die Axiome der Geometrie, 1877 (vgl. oben S. 258).Google Scholar
  20. 36).
    S. 56. Wenn durch Störung der hier vorausgesetzten konstanten Beziehung zwischen Konvergenz-und Akkomodationsempfindungen eine vierte Variable zur Verfügung gestellt wird, so werden wir die Interpretation derselben nach außen verlegen und zur Annahme einer vierten Dimension geführt, falls uns nicht durch andere Beobachtungen (z. B. des Tastsinnes) bereits die Dreizahl der Dimensionen gesichert erscheint. Ist letzteres der Fall, so wird unser Verstand die verfügbare Variable benutzen, um die Deutung und Orientierung des Gesichtsbildes im Raume mehr zu präcisieren, als es sonst möglich wäre. Besteht also keine konstante Beziehung zwischen den beiden Muskelempfindungen, so wird sich ein neues Hüfsmittel der Beobachtung, etwa ein „Ferntastsinn“, bemerkbar machen, vermöge dessen wir befähigt sind, Entfernungen direkt durch das Auge abzuschätzen. Die Existenz eines solchen Ferntastsinnes hat auf Grund anderweitiger Überlegungen G. Hirth behauptet: Das plastische Sehen als Rindenzwang, München 1892 (La vue plastique fonction de l’écorce cerebrale, traduit par L. Arreat, Paris 1893); vgl. dazu gehörige mathematische Ansätze in einer Anmerkung der Schrift desselben Verfassers: Energetische Epigenesis (Merksystem und plastische Spiegelungen), München 1898.Google Scholar
  21. 37).
    S. 56–59. Auch in bezug auf den Tastsinn sei auf obige Werke verwiesen. Für die Beziehungen desselben zum Gesichtssinne sind von besonderem Interesse die daselbst erwähnten Erfahrungen an Blindgeborenen, denen durch Operation im späteren Leben, wo die Raumanschauung allein auf Grund des Tastsinnes bereits ausgebildet war, die Möglichkeit des Sehens verschafft ward. Die Antwort, welche Poincare hier (S. 59) auf die Frage nach der Bedeutung der Lokalisation eines Objekts an einem bestimmten Punkte gibt, hängt eng mit einer persönlichen Veranlagung Poincarés zusammen. Dr. Toulouse nämlich hat eine wissenschaftliche Untersuchung der psychophysischen Eigenschaften von Poincare durchgeführt und mit dessen Zustimmung veröffentlicht: Enquete medico-psychologique sur 1a superiorite in-tellectuelle, t. II, H. Poincare, Paris 1910. Dort heißt es auf S. 59:,.il reconnait les lieux par la m6moire des mouve-ments oculaires et des bras“ und S. 76: „use represents mal un Heu, et cependant il s’y reconnait assez facilement en s’aidant des images motrices (mouvements des yeux et des bras). — Vgl. ferner Po., W. u. M. S. 87ft.Google Scholar
  22. 40).
    S. 71. Solche dreidimensionale Perspektiven von vierdimensionalen Körpern sind in der Tat durch V. Schlegel 1884 für die sechs regulären Körper, welche im Raume von vier Dimensionen möglich sind, hergestellt und sind durch den Buchhandel zu beziehen. Es sind dies 1. das Fünfzeil, begrenzt von 5 regulären kongruenten Tetraedern, 2. das Achtzell, begrenzt von 8 kongruenten Würfeln, 3. das Sechzehnzeil, begrenzt von 16 kongruenten regulären Tetraedern, 4. das Vier-undzwanzigzell, begrenzt von 24 kongruenten regulären Oktaedern, 5. das Sechshundertzell, begrenzt von 600 kongruenten regulären Tetraedern, 6. das Hundert-zwanzig zell, begrenzt von 120 kongruenten regulären Dodekaedern. Vgl. Schlegel: Nova Acta der Kais. Leop. Carol. Akademie, Bd. 44, Nr. 4, sowie Katalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht, Verlagshandlung von Martin Schilling in Halle a. S. 1903. — Vgl. auch oben die Anmerkung 33.Google Scholar
  23. 42).
    S. 81. Die betreffenden Darlegungen Newtons findet man z. B. bei Mach wiedergegeben (Die Mechanik in ihrer Entwickelunghistorisch-kritisch dargestellt, 2. Aufl., Leipzig 1889, S. 211 ff.), der auch die UnmögHchkeit, auf einen absoluten Raum zu schließen, bespricht; vgl. ferner: Pearson, The Grammer of science, 2 nd ed., London 1900, S 533.Google Scholar
  24. 45).
    S. 90. Was man unter einer Gruppe von Operationen versteht, wurde schon oben kurz angedeutet (S. 66). Eine Untergruppe dieser Gruppe ist ein System von Operationen, die für sich eine Gruppe bilden und in der gegebenen Gruppe enthalten sind. So bilden alle Drehungen eines festen Körpers um einen festen Punkt eine Untergruppe der umfassenderen Gruppe aller Bewegungen, denn jede Drehung ist eine Bewegung, und zwei successive Drehungen um denselben festen Punkt lassen sich durch eine dritte Drehung ersetzen. So bilden alle Bewegungen und alle Spiegelungen (an beliebigen Ebenen) zusammen eine Gruppe; in letzterer ist die Gruppe aller Bewegungen als Untergruppe enthalten; die Spiegelungen für sich bilden aber keine Untergruppe, denn zwei nacheinander ausgeführte Spiegelungen sind durch eine Bewegung (nicht wieder durch eine Spiegelung) zu ersetzen.Google Scholar

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden 1914

Authors and Affiliations

  • F. Lindemann
  • L. Lindemann

There are no affiliations available

Personalised recommendations