Die einfachste Extremsaufgabe der Variationsrechnung

Werde das Extrem einer Funktion von mehreren Veränderlichen gesucht, zwischen denen Bedingungsgleichungen bestehen. Genauer suchen wir notwendige Bedingungen dafür, daß eine Funktion F(ε₁,ε₂,...ε _m an der Stelle ε₁ = ε₂ = ... = ε _m = 0 oderε = 0, wo sie regulä sei, ein Extrem Besitze. Sind die Größene zunächst frei veränderlich, so setze man ε₂ = ε₃ = ... = ε_{m = 0;} ist dann wobei die Fußmarke 0 das System ε = 0 bedeute, so wird F(ε₁, 0,....,0) bei beliebig kleinen Werten von ε₁ also in beliebiger Nä der Stelle ε = 0 sowohl größer wie kleiner als womit das Extrem an der Stelle ε = 0 ausgeschlossen ist. Notwendige ßdiengungen des betrachteten freien Extrems sind also die Gleichungen