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Differentialrechnung im Rp

  • Harro Heuser
Part of the Mathematische Leitfäden book series (MLF)

Zusammenfassung

In diesem Buch haben wir schon mehrmals betont, daß bei der Untersuchung reeller Funktionen f sowohl von theoretischem als auch von praktischem Standpunkt aus die Frage im Vordergrund steht, wie sich die Werte f(x) bei Änderungen des Argu-ments x verhalten. Die entscheidenden und erstaunlich leistungsfähigen Hilfsmittel zur tieferen Diskussion dieser Frage waren die Begriffe der Stetigkeit und vor allem der Differenzierbarkeit. Natürlich wird die Analyse des Änderungsverhaltens auch in der Theorie und Anwendung der Funktionen von mehreren reellen Veränderlichen eine erstrangige Rolle spielen, und man wird ganz selbstverständlich daran denken, die erfolgreichen und klärenden Fundamentalbegriffe „Stetigkeit“ und „Differen-zierbarkeit“ in angemessener Weise von R nach Rp zu übertragen, um ihnen dort eine neue Karriere zu eröffnen. Für die Stetigkeit haben wir dies und zwar in viel allgemeineren Zusammenhängen bereits in den Nummern 111 bis 113 und in nochmals vertiefter Form in den Nummern 158 und 159 geleistet. Der Differenzier-barkeitsproblematik sind wir bisher ausgewichen. Im vorliegenden Kapitel werden wir nun gerade diese Problematik aufgreifen und dabei zu weitaus tieferen Einsich-ten in das Verhalten der Funktionen von mehreren Veränderlichen kommen als bis-her. Den ersten, vorbereitenden Schritt in das neue Problemfeld tun wir in der fol-genden Nummer. Wir verabreden vorher noch, uns die Vektorräume Rp, Rq, ... immer mit gewissen Normen versehen zu denken; in der Wahl der letzteren sind wir dank des Satzes 153.1 oder auch des Satzes 109.8 völlig frei.

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Referenzen

  1. 1).
    Dem Anfänger wird geraten, beim partiellen Differenzieren die festzuhaltenden Variablen zunächst mit einem leicht ausradierbaren Bleistiftzeichen zu markieren, etwa durch Anhängen des Index oder durch Unterstreichen. Er vermeidet so, bis er eine größere Gewandtheit erlangt hat, den sehr banalen (aber sehr häufigen) Fehler, die Variablen durcheinanderzuwerfen.Google Scholar
  2. 1).
    In manchen Büchern bedeutet ∂2ƒ/∂ x ∂ y, daß zuerst nach x und dann nach y differenziert werden soll. Der unten stehende Satz 162.1 zeigt, daß dieser Unterschied in den Konventionen praktisch nicht sehr belangvoll ist. 2) Dieser wichtige Satz geht auf Euler (1734) zurück; s. Opera omnia (1), 22, S. 39.Google Scholar
  3. 1).
    Einen ganz anderen Beweis, allerdings unter etwas stärkeren Voraussetzungen, findet der Leser in A 200.10.Google Scholar
  4. 1).
    Johannes Diderik van der Waals (1837–1923; 86), niederländischer Physiker.Google Scholar
  5. 1).
    Wir erinnern an die Verabredungen, die wir kurz vor Satz 111.1 über die Bezeichnungen für Funktionen aus Rp nach R9 getroffen haben.Google Scholar
  6. 1).
    Man halte sich vor Augen, daß sowohl A als auch r (h) von der betrachteten Stelle ξ abhängen.Google Scholar
  7. 1).
    So genannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851; 47).Google Scholar
  8. 1).
    Bei einzeiligen Matrizen trennen wir die Elemente wie bei Vektoren durch Kommata, damit keine „Multiplikationsmißverständnisse“ entstehen.Google Scholar
  9. 1).
    Beachte, daß diesmal h eine Zahl 0, die Division durch h also statthaft ist.Google Scholar
  10. 1).
    Locker formuliert: Die Richtungsableitung ist die Ableitung, angewandt auf die Richtung.Google Scholar
  11. 1).
    An dieser Stelle wird klar, warum wir bei der Definition des Richtungsvektors die euklidische Norm bevorzugt haben.Google Scholar
  12. 1).
    Wir haben in (167.3) die Zahlfaktoren tv — tv_ 1 nicht vor den Vektor f(-τv) geschrieben, sondern hinter ihn, um der aus dem Reellen gewohnten Schreibweise der Riemannschen Summen möglichst nahe zu bleiben.Google Scholar
  13. 1).
    Das Integral in der Klammer ist eine Matrix, und diese soll auf h angewandt werden.Google Scholar
  14. 1).
    Für den Leser, der das Kapitel XIX über topologische Räume übergangen hat, machen wir die folgende Anmerkung: Aufgrund des Satzes 161.4 darf er ohne weiteres unter einem Gebiet des Rp eine offene Menge G ⊂ Rp verstehen, welche die Eigenschaft besitzt, daß man je zwei Punkte von G stets durch einen ganz in G verlaufenden Polygonzug miteinander verbinden kann. Der Begriff des Polygonzugs ist kurz hinter (161.4) erklärt. Dort findet man auch die Definition der konvexen Menge, die in Aufgabe 3 benötigt wird.Google Scholar
  15. 1).
    Man halte sich jedoch vor Augen, daß die „c-Punkte“ gelegentlich auch ein ganzes Flächenstück ausfüllen können, nämlich dann, wenn das Gelände ein ebenes Plateau der Höhe c enthält.Google Scholar
  16. 1).
    Die hier und im folgenden auftretenden Matrixnormen seien die Abbildungsnormen.Google Scholar
  17. 1).
    Man beachte, daß nicht die stetige Differenzierbarkeit auf dem ganzen Definitionsbereich U von f behauptet wird (und i. allg. auch nicht behauptet werden kann).Google Scholar
  18. 1).
    So genannt nach Gabriel Cramer (1704–1752; 48).Google Scholar
  19. 1).
    Vervielfachung und Addition von Zeilen bzw. Spalten sind im Sinne der Vektorrechnung zu verstehen: Zeilen sind als Zeilenvektoren, Spalten als Spaltenvektoren aufzufassen.Google Scholar
  20. 1).
    Der Leser halte sich die selbstverständliche Tatsache vor Augen, daß jedes globale Extremum einer Funktion f auch ein lokales ist. Bei offenem Definitionsbereich (und den nötigen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen) muß also jede Stelle eines globalen Extremums von f auch eine kritische Stelle von f sein.Google Scholar
  21. 1).
    Man hat im Beweis des Satzes 81.1 und des hierzu nötigen Hilfssatzes 81.2 im wesentlichen nur Beträge durch Normen zu ersetzen und sich statt auf den Satz 36.5 auf den Satz 111.10 zu berufen.Google Scholar
  22. 2).
    Dieses Maximum existiert, weil die Funktion t-↦11/(011 auf der kompakten Menge [a, bi stetig ist.Google Scholar
  23. 1).
    Hans Hahn (1879–1934; 55).Google Scholar
  24. 2).
    S. etwa Heuser [6], Nr. 36.Google Scholar

Copyright information

© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004

Authors and Affiliations

  • Harro Heuser

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