Zusammenfassung
Das Wasserstoff-Atom ist bekanntlich das einfachste atomare System. Es besteht aus einem Proton und einem Elektron. Die Wellenlängen seiner Spektrallinien lassen sich mit der einfachen Balmer-Formel mit sehr großer Genauigkeit reproduzieren. Dies ist unübersehbar eine starke Motivation dafür, das Spektrum möglichst exakt zu berechnen.
Dieses Spektrum und die Balmer-Formel sind Gegenstand des ersten Abschnitts. Im zweiten befassen wir uns kurz mit dem Bohrschen Atommodell, das erstmals einen Zugang zum Verständnis der Atomspektren ermöglichte. In Abschn. 7.3 geht es um die Berechnung des H-Atoms mit der Schrödinger-Gleichung und darum, eine Vorstellung vom Zustandekommen und vom Aussehen der Wellenfunktionen zu gewinnen. Wir werden sehen, dass die Energieterme des H-Atoms mit einer Hauptquantenzahl n charakterisiert werden können, und dass zu jedem Term mit n > 1 mehrere Zustände mit unterschiedlichem Drehimpuls gehören („Drehimpulsentartung“).
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Notes
- 1.
Anders Jonas Ångström war Professor für Physik an der Universität Uppsala und einer der Pioniere der Spektroskopie; Johan Jakob Balmer war Schreib- und Rechenlehrer an der Unteren Töchterschule in Basel. Er fand die berühmte Formel im Alter von 59 Jahren. Der schwedische Physiker Johannes Robert Rydberg war Professor an der Universität Lund. 1896 stellte er die Formel (7.2) auf, mit der das gesamte Spektrum des H-Atoms beschrieben werden konnte.
- 2.
Klassisch: Das Strahlungsfeld (1,0) entspricht nach (6.38) der Ausstrahlung eines in z-Richtung oszillierenden Dipols. Diese Schwingung kann durch elektromagnetische Wellen, die in z-Richtung laufen, nicht angeregt werden.
- 3.
Die Bezeichnungen stammen aus der Frühzeit der Spektroskopie. Sie sind aus dem Erscheinungsbild der Spektrallinien abgeleitet: s = „scharf“, p = „prinzipal“, d = „diffus“ (wegen der Feinstruktur, siehe unten), f = „fein“. Dann geht es in alphabetischer Reihenfolge weiter.
- 4.
Arnold Sommerfeld (1868–1951), Professor für Theoretische Physik an der Universität München. Er engagierte sich von Anfang an für Einsteins Relativitätstheorie und ab 1910 auch für die Quantenphysik. Deshalb hatte er großen Zulauf von Studenten, die sich für die neue Physik interessierten, u. a. studierten bei ihm Werner Heisenberg und Wolfgang Pauli; sein Assistent war Peter Debye. Sommerfeld entwickelte das Bohrsche Atommodell zu der „Bohr-Sommerfeldschen Atomtheorie“, mit der er schon 1915 die Feinstruktur im Spektrum des H-Atoms berechnete. In seiner Theorie gab es außer der Bohrschen Kreisbahn im Zustand n = 2 noch eine Ellipsenbahn. Die relativistisch berechnete kinetische Energie auf beiden Bahnen ergab korrekt die Feinstrukturaufspaltung. Seine Lehrbücher „Atombau und Spektrallinien“ und „Vorlesungen über Theoretische Physik“ (6 Bände) waren lange Zeit für viele Physiker und Physikstudenten das Vademecum.
- 5.
Paul Adrian Maurice Dirac (1902–1989) studierte zunächst in seiner Geburtsstadt Bristol Elektrotechnik, wandte sich dann aber der Mathematik und der Theoretischen Physik zu. Als Student hörte er im Sommer 1925 einen Vortrag, den Heisenberg in Cambridge hielt, zwei Monate nachdem ihm während eines Urlaubs auf Helgoland der Durchbruch gelungen war. Dirac konnte sich die Korrekturfahnen von Heisenbergs erster Publikation besorgen und überraschte bereits im Januar 1926 die Fachwelt mit einer Arbeit, in der er etwa gleichzeitig mit Born, Heisenberg und Jordan Heisenbergs Ideen zu einer vollständigen Theorie ausgearbeitet hatte. Im August 1926 folgte eine Arbeit „On the Theory of Quantum Mechanics“, die auch die Schrödinger-Gleichung mit einbezog. In dieser Arbeit werden unter anderem Systeme von mehreren gleichartigen Teilchen diskutiert; dabei wird gezeigt, dass das Verhalten der Wellenfunktion beim Vertauschen zweier Teilchen darüber entscheidet, ob für die Teilchen das Pauli-Verbot gilt, oder ob sie der Bose-Einstein-Statistik folgen. Wir kommen darauf in Abschn. 8.4 zurück. 1927 folgte eine Arbeit „The Quantum Theory of Emission and Absorption of Radiation“ und 1928 die Arbeit „The Quantum Theory of the Electron“, die die Dirac-Gleichung enthält.
- 6.
Näheres zur Abschaffung der Dirac-See und wie man auch mit der neuen Interpretation der Dirac-Gleichung die Wellenfunktionen das H-Atoms ausrechnen kann, findet man (bei entsprechender Vorbildung) in S. Weinberg, „The Quantum Theory of Fields“, Cambridge University Press (1995), Band 1.
- 7.
Man findet sie z. B. in B. H. Bransden u. C. J. Joachain, „Physics of Atoms and Molecules“, Prentice Hall (2003).
- 8.
Man findet in Lehrbüchern zuweilen die Aussage, dass (ΔE)kin + (ΔE)ls = (ΔE)FS ist. Das beruht vermutlich auf folgender, höchst illegaler Ableitung: Man setzt in (7.55) \(j=l+\frac{1}{2}\). Dann erhält man
$$\begin{aligned}\displaystyle(\Updelta E)_{ls}=\frac{m_{\text{e}}c^{2}}{2}\frac{\alpha^{4}}{n^{3}}\frac{1}{(l+1)(2l+1)}\,.\end{aligned}$$Nun wird l = 0 gesetzt und man erhält, o Wunder, das Äquivalent des Darwin-Terms (7.57). Es ist aber für l = 0 in (7.53) \(\left<({}\vec{l}\cdot{}\vec{s})_{\text{op}}\right> =0\) und nach (7.54) ⟨1 ∕ r3⟩ = ∞. Hier hilft auch kein Differenzieren, da l eine diskrete Variable ist.
- 9.
W. V. Houston, Phys. Rev. 51, 446 (1937); R. C. Williams, Phys. Rev. 54, 558 (1937); S. Pasternak, Phys. Rev. 54, 1113 (1937).
- 10.
W. E. Lamb u. R. C. Retherford, Phys. Rev. 72 (1947) 241 und Phys. Rev. 79 (1950) 649; S. Triebwasser, E. S. Dayhoff u. W. E. Lamb, Phys. Rev. 89 (1953).
- 11.
In der Nähe der Achse ist im Sextupolfeld Bx = K(x2 − y2), By = − 2Kxy und Bz = 0, mit K = const. Daraus folgt \(B=\sqrt{B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}}=Kr^{2}\).
- 12.
siehe z. B. T. Udem, R. Holzwarth u. T. W. Hänsch, „Uhrenvergleich auf der Femtosekundenskala“, Physik Journal 1, Heft 2, S. 39, (2003).
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Übungsaufgaben
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7.1 Elektronengeschwindigkeit in Atomen.
a) Berechnen Sie den Erwartungswert der potentiellen Energie eines Elektrons, das sich im 1s-Zustand bei einem Kern der Ladungszahl Z befindet. Wie groß ist der Erwartungswert der kinetischen Energie?
b) Wie groß ist die Elektronengeschwindigkeit, die dieser kinetischen Energie entspricht? Bei welchen Werten von Z erreicht sie 2 % bzw. 10 % der Lichtgeschwindigkeit?
7.2 Zur Wellenfunktion im Wasserstoff-Atom.
Als Ansatz für die radiale Wellenfunktion des Wasserstoff-Atoms wählt man R(r) = ζ(r) ∕ r mit ζ(r) = P(r) e−κr. Mit einer ziemlich mühseligen Rechnung lässt sich zeigen, dass die Funktion R(r) im Grenzfall r → ∞ nur dann verschwindet, wenn die Funktion P(r) ein Polynom ist. Dies werde im Folgenden vorausgesetzt.
a) Was folgt aus der radialen Schrödinger-Gleichung (7.21) im Grenzfall großer r? Drücken Sie κ mit (7.29) durch den Bohrschen Radius aus.
b) Zeigen Sie, dass der spezielle Ansatz P(r) = rl+1 (Spezialfall von (7.32)) die radiale Schrödinger-Gleichung löst. Wie groß ist nr und wie groß ist die Bindungsenergie?
7.3 Maximale Elektronendichte.
Berechnen Sie für die Zustände mit n = l + 1, bei welchem Radius rn die Wahrscheinlichkeitsverteilung r2 | R(r)|2 des Elektronen-Abstands vom Atomkern ein Maximum hat.
7.4 Elektronendichte-Verteilung.
Abb. 7.21 zeigt die Dichteverteilungen zweier Elektronenzustände im Wasserstoff-Atom. Wie groß sind die Quantenzahlen nr, l, n und m?
Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons als Funktion von r und ϑ, dargestellt als Punktdichte wie in Abb. 7.7
7.5 Hyperfeinaufspaltung im Deuterium.
Das Wasserstoff-Atom besitzt im Grundzustand eine Hyperfeinaufspaltung ΔνHFS = 1420 MHz. Anders als das Proton, dessen Spin 1 ∕ 2 ist und dessen magnetisches Moment μp = 2,79 μK beträgt, besitzt das Deuteron den Kernspin 1 und ein magnetisches Moment μd = 0,857 μK. In den Grundzuständen des Wasserstoff- und des Deuteriumatoms ist die Hyperfeinaufspaltung proportional zum Skalarprodukt aus Elektronen- und Kernspin. Wie groß ist die Hyperfeinaufspaltung im Grundzustand des Deuteriumatoms?
7.6 Rydberg-Atom.
Ein Wasserstoff- oder Alkali-Atom, das in einen Zustand mit großer Hauptquantenzahl n angeregt ist, nennt man ein Rydberg-Atom. Für ein derartiges Wasserstoff-Atom sei z. B. n = 30 und l = n − 1. Man gebe den Radius bei maximaler Elektronendichte an und schätze die Lebensdauer des Zustands ab. (Hinweise: Gehen Sie von einer Lebensdauer τ ≈ 1 ns für den 2p-Zustand aus. Wie hängt die Übergangsenergie von n ab? Wie wird das Dipolmatrixelement (6.54) von n abhängen (vgl. Aufg. 7.3)?
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Heintze, J., Bock, P. (2019). Das Wasserstoff-Atom. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 5: Quantenphysik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58626-6_7
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