Zusammenfassung
Um die Bewegung eines Teilchens unter dem Einfluss einer auf ein Zentrum gerichteten Kraft zu beschreiben, rechnet man die Schrödinger-Gleichung auf sphärische Polarkoordinaten um. Im ersten Abschnitt wird gezeigt, dass sich die dabei entstehende recht komplizierte partielle Differentialgleichung in drei gewöhnliche Differentialgleichungen für die drei Koordinaten r, φ und ϑ zerlegen lässt. Die Lösung der Winkelgleichungen (Abschn. 5.2) führt auf die Kugelflächenfunktionen Ylm(ϑ , φ), die von Alters her in der mathematischen Physik bekannt sind. Sie sind endlich und eindeutig nur für bestimmte ganzzahlige Werte der Parameter l und m, von denen sie abhängen. Die potentielle Energie spielt nur bei den Lösungen der Radialgleichung eine Rolle (Abschn. 5.3).
In Abschn. 5.4 wird nach den Vorschriften von Abschn. 4.2 der quantenmechanische Operator des Drehimpulses \({}\vec{L}\) konstruiert. Es erweist sich, dass die Ylm(ϑ , φ) Eigenfunktionen des Operators \(\left|{}\vec{L}\right|_{\text{op}}^{2}\) sind, mit Eigenwerten, die nur von l abhängen. Die ganzzahligen Werte von l, der Drehimpulsquantenzahl, bestimmen also den Betrag des Drehimpulses. Die Richtung des Drehimpulses ist durch die Quantenzahl m gegeben (Richtungsquantelung), wobei nur eine Komponente des Drehimpulsvektors genau festgelegt werden kann; die beiden anderen bleiben unbestimmt. Der Weg zu diesen Erkenntnissen führt durch viel Formelwerk; das Ergebnis lässt sich jedoch sehr einfach formulieren, wie die Gleichungen (5.34) und (5.35) zeigen.
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Notes
- 1.
In der Quantenphysik muss man bei dem Buchstaben m aufpassen: Es ist allgemein üblich, sowohl die Masse eines Teilchens als auch die in (5.10) eingeführte Quantenzahl mit m zu bezeichnen. In (5.20) ist m natürlich die Masse. Im Zweifelsfall muss man sich überlegen, wie das m in die Gleichung gekommen ist.
- 2.
Sie wird Schritt für Schritt vorgerechnet z. B. in S. Gasiorowicz, „Quantenphysik“, 9. Aufl., Anhang 7-B, Oldenbourg-Verlag, 2005.
- 3.
Wenn die Elektronenhülle des Moleküls den Drehimpuls \({}\vec{L}=0\) hat, ist das berechtigt: Die Bewegung der Elektronen in der Hülle erfolgt viel schneller als die Bewegung der Atomkerne bei der Rotation und Vibration. Die Elektronenhülle kann sich deshalb jederzeit der momentanen Lage der Atomkerne anpassen, ohne ihren quantenmechanischen Zustand zu ändern. Die Wellenfunktion des Moleküls ist dann als Produkt \(\psi_{\text{K}}(d)\,\psi_{\text{el}}({}\vec{r}_{i},d)\) darstellbar, wobei ψK(d) die Rotation und Vibration des Moleküls beschreibt. Die elektronische Wellenfunktion \(\psi_{\text{el}}({}\vec{r}_{i},d)\) hängt von den Koordinaten \({}\vec{r}_{i}\) der Elektronen ab und enthält den Kernabstand d als Parameter. Man nennt das die adiabatische oder die „Born-Oppenheimer-Näherung“. Auf den Fall, dass die Elektronenhülle einen Eigendrehimpuls hat, wird bei Abb. 5.16 eingegangen.
- 4.
- 5.
Die Rotationsachse steht senkrecht auf der Molekülachse. Bezeichnet man diese Richtung mit \(\hat{z}\), so ist \((\omega_{z})_{\text{op}}=\frac{{{\mathrm{d}}}}{{{\mathrm{d}}}t}\varphi_{\text{op}}=\frac{1}{\Theta}(L_{z})_{\text{op}}\) und man erhält \(\left\langle\frac{{{\mathrm{d}}}\varphi}{{{\mathrm{d}}}t}\right\rangle=\frac{1}{\Theta}\left\langle L_{z}\right\rangle=\frac{l\hbar}{\Theta}\). Näheres dazu findet man z. B. in D. I. Blochinzew, „Grundlagen der Quantenmechanik“, 4. Auflage, Kap. V, Berlin (1963).
- 6.
Die quantenmechanische Behandlung der elastischen Streuung im Coulomb-Potential ergibt für den Wirkungsquerschnitt die klassisch abgeleitete Rutherfordsche Streuformel.
- 7.
Wenn das Teilchen mit der Masse m2 im Laborsystem ruht, wie z. B. beim Beschuss eines Targets, sind im Laborsystem Streuwinkel und und differentieller Wirkungsquerschnitt des Teilchens mit der Masse m1 gegeben durch \(\cos\vartheta_{\text{Lab}}=\frac{m_{1}+m_{2}\cos\vartheta}{(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos\vartheta)^{1/2}}\), \((\frac{{{\mathrm{d}}}\sigma}{{{\mathrm{d}}}\Omega})_{\text{Lab}}=\frac{(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos\vartheta)^{3/2}}{m_{2}^{2}(m_{2}+m_{1}\cos\vartheta)}\frac{{{\mathrm{d}}}\sigma}{{{\mathrm{d}}}\Omega}\) . Für das zweite Teilchen gilt \(\cos\vartheta_{\text{Lab}}=\sin\frac{\vartheta}{2}\), \((\frac{{{\mathrm{d}}}\sigma}{{{\mathrm{d}}}\Omega})_{\text{Lab}}=4\sin\frac{\vartheta}{2}\frac{{{\mathrm{d}}}\sigma}{{{\mathrm{d}}}\Omega}\) .
- 8.
E. Fermi u. L. Marshall, Phys. Rev. 71, 666 (1947). In dieser Arbeit geht es hauptsächlich um die heute als „bound coherent scattering length bc“ bezeichnete Größe (siehe Text vor (3.47)) und um deren experimentelle Bestimmung.
- 9.
In der Arbeit von Fermi und Marshall wird das Vorzeichen der Streulänge mit Hilfe der von Fermi ein Jahr zuvor entdeckten Totalreflexion von Neutronen an ebenen Festkörperoberflächen bestimmt. Das legt in der Tat das Minuszeichen nahe, siehe (3.48).
- 10.
Eine Kernreaktion, bei der ein Teilchen auf einen Kern X trifft und dabei ein Kern Y und ein Teilchen b entsteht, X + a → Y + b, wird abgekürzt mit X(a,b)Y oder noch kürzer mit (a,b) bezeichnet.
- 11.
Diese Interferenz entspricht den aus der klassischen Physik bekannten Verhältnissen: Die Potentialstreuung entspricht fast genau der Reflexion beim fest eingespannten Gummiseil in Abb. IV/1.6: Die auslaufende Welle ist gegenphasig zur einlaufenden („Phasensprung um π“). Bei der erzwungenen Schwingung ist unterhalb der Resonanzfrequenz die Schwingung gleichphasig mit der Erregung, oberhalb aber gegenphasig. Daher ist die Interferenz in Abb. 5.23 unterhalb der Resonanz destruktiv, oberhalb konstruktiv. Sie wirkt sich nur dort aus, wo die Amplituden der Potential- und der Resonanzstreuung ungefähr gleich groß sind.
- 12.
Siehe z. B. J. M. Blatt u. V. F. Weisskopf, „Theoretical Nuclear Physics“, Springer Verlag (1979), S. 463 und S. 349.
- 13.
H. Feshbach, D. C. Peaslee u. V. F. Weisskopf, Phys. Rev. 71, 145 (1947), Gleichung (14). Es wurde dort \({\,{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{i}}kr_{0}}=1\) und nach (5.84) \(\sin kr_{0}=-\sin\delta_{0}=-\delta_{0}\) gesetzt. Ferner wurde berücksichtigt, dass man mit (5.86) das richtige Vorzeichen für 𝒜0,pot erhält (Brechungsindex n < 1).
- 14.
Das Speichern wurde am Ende von Abschn. III/13.4 beschrieben; mit dem Kühlen werden wir uns in Abschn. 6.6 befassen.
- 15.
Annals of Physics 5, 357 (1958); 19, 287 (1962). Die Bezeichnung „Feshbach-Resonanz“ hat sich nur in der Atomphysik eingebürgert. Amüsant und interessant zu diesem Thema: D. Kleppner, „Professor Feshbach and His Resonance“, Physics Today, August 2004, S. 12.
- 16.
S. Inouye, M. R. Andrews, J. Stenger, H. J. Miesner, D. M. Stamper-Kurn u. W. Ketterle, Nature 392, 151 (1998).
- 17.
Für jeden Messpunkt unterhalb der Resonanz wurde das Magnetfeld langsam (0,05–0,3 G∕ms) hochgefahren. Bei einem bestimmten Wert von B wurde die optische Falle abgeschaltet. Die im Kondensat gespeicherte Wechselwirkungsenergie EW wandelt sich dann in kinetische Energie Ekin um. Das Auseinanderlaufen der Atome kann photographisch registriert werden. Aus ihrer Geschwindigkeit und der dabei ebenfalls beobachtbaren Anzahl N kann mit (5.96) und Ekin = EW ∕ N die Streulänge a berechnet werden. Zur photographischen Registrierung siehe W. Ketterle, Physikalische Blätter 53, 677 (1997). Für die Messungen oberhalb von B0 wurde zunächst das B-Feld möglichst schnell (100 G/ms) zu einem Wert deutlich oberhalb der Resonanz gebracht, wobei 60–80 % des Kondensats verlorengingen, und dann langsam abgesenkt.
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Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
5.1 Coulomb- und Drehimpulsbarriere.
Berechnen Sie für Protonen mit l = 1 und l = 2 die Höhen der Drehimpulsbarriere sowie die Höhe des Coulomb-Walls bei Kernen mit den Ladungen Z = 6, 30 und 80 und dem Radius \(R_{\text{K}}=1{,}3\,A^{1/3}\,10^{-15}\) m (A = 12, 65 bzw. 200). Geben Sie die Werte in MeV an. Die Protonenruheenergie ist 938 MeV, es ist \(\hbar=6{,}58\cdot 10^{-16}\) eV s.
5.2 Drehimpulsoperator.
Zeigen Sie, dass aus (5.27)–(5.29) der in (5.30) angegebene Ausdruck für den Operator \(|{}\vec{L}|^{2}_{\text{op}}\) folgt.
5.3 Gleichzeitige Messbarkeit physikalischer Größen.
Welche der folgenden Größen sind gleichzeitig messbar:
a) Komponente des Drehimpulses in z-Richtung,
b) x-Koordinate
c) x2 + y2.
Hinweis: Berechnen Sie die Kommutatoren analog zu (4.59).
5.4 Ortsunschärfe in einem Molekül.
Der Abstand zwischen den Atomkernen eines zweiatomigen Moleküls ist einer quantenmechanischen Unbestimmtheit unterworfen. Wie groß ist der Effekt im HCl-Molekül, wenn die Schwingungsquantenzahl v = 0 oder 1 ist (siehe Aufg. 4.3, Daten in Tab. 5.4)? Vergleichen Sie mit dem mittleren Atomabstand d0.
5.5 Drehimpuls und Atomabstand im zweiatomigen Molekül.
Man betrachte den klassischen Grenzfall zweier Massen, die über eine Feder mit der Federkonstanten D miteinander verbunden sind. Im Abstand r0 verschwinde die Federkraft. Die reduzierte Masse des Systems ist μ, die Federmasse ist zu vernachlässigen. Um wie viel ändern sich der Abstand zwischen den Massen, das Trägheitsmoment des Systems und die potentielle Energie, wenn die Massen mit einem kleinen Drehimpuls L umeinander rotieren, aber nicht gegeneinander schwingen? Um wie viel weicht die Rotationsenergie vom Wert L2 ∕ (2μ r 20 ) ab? Wenden Sie diese klassische Abschätzung auf das HCl-Molekül an.
5.6 Fortrat-Diagramm.
Interpretieren Sie das Fortrat-Diagramm von HCl in Abb. 5.13:
a) Reproduzieren Sie die gestrichelten Kurven in der Abbildung mit Hilfe der Daten in Tab. 5.4.
b) Die Schwingungsanregung des HCl führt wegen der Nichtlinearität des Kraftgesetzes zu einer Änderung des Trägheitsmoments (beschrieben durch (5.60)) und somit zu Abweichungen von den gestrichelten Kurven in Abb. 5.13. Wie sehen sie aus und welchen Wert schätzt man für κ ab?
5.7 Wirkungsquerschnitt und Partialwellen.
a) Beweisen Sie (5.76) für den totalen Streuquerschnitt durch Integration des differentiellen Wirkungsquerschnitts (5.75).
b) Wie groß kann der totale Wirkungsquerschnitt werden, wenn eine Reaktion ausschließlich aus elastischer s-Wellenstreuung besteht? Wie groß ist dann die Streuphase δ0?
c) Unter welchen Bedingungen erreicht der Breit–Wigner-Wirkungsquerschnitt (5.89) diesen Wert?
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Heintze, J., Bock, P. (2019). Bewegung im Zentralfeld, Quantelung des Drehimpulses. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 5: Quantenphysik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58626-6_5
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