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Spezielle Funktionen

  • Gebhard GrüblEmail author
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Zusammenfassung

Abseparation der Zeit in typischen Wellengleichungen führt im Fall der Ortsfunktion auf die Helmholtzsche Schwingungsgleichung. Der Separationsansatz zur Lösung der Helmholtzgleichung in Kugel- oder Polarkoordinaten führt auf die linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen von Bessel und Legendre. Deren (maximale) Lösungen lassen sich auf Potenzreihenansätze zurückführen. Nur für bestimmte Werte der Separationskonstanten besitzt zumindest ein eindimensionaler Unterraum von Lösungen eine Fortsetzung zu Ganzraumlösungen. Es sind dies die tesseralen Kugelflächenfunktionen. Hier liegt der Grund für die Drehimpulsquantisierung. Die komplexen Kugelflächenfunktionen sind direkte Abkömmlinge der tesseralen. Besselfunktionen hingegen bestimmen das radiale Verhalten der Lösungen. Auch von ihnen besitzt nur ein Typ eine stetige Fortsetzung zu einer Ganzraumlösung. Eulers Gammafunktion ist ein bestimmender Bestandteil der Besselfunktionen. Mit welchen Frequenzen schwingt eine kreisförmige Trommelmembran? Mit welchen eine eingespannte Kugel? Wie lassen sich Atomorbitale veranschaulichen? Wie kommt die Multipolentwicklung der Elektrostatik zustande? Wie die Partialwellenentwicklung einer ebenen Welle?

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Authors and Affiliations

  1. 1.Institut für Theoretische PhysikUniversität InnsbruckInnsbruckÖsterreich

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