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Rand- und Eigenwertprobleme gewöhnlicher Differenzialgleichungen

  • Claus-Dieter Munz
  • Thomas Westermann
Chapter

Zusammenfassung

Neben Anfangswertproblemen stellen sich bei praktischen Anwendungen oft auch Randbedingungen auf beiden Seiten des Rechenintervalls. Statt einem eingespannten Balken und der Lösung eines Anfangswertproblems liegt der Balken auf beiden Seiten auf. Diese beidseitige Lagerung führt auf zwei Randwerte für das Problem. Zur numerische Lösung von Randwertproblemen werden drei Klassen von Methoden betrachtet. Beim Schießverfahren wird ein zusätzlicher Anfangswert vorgegeben und dieser durch mehrmaliges Lösen des Anfangswertproblems so bestimmt, dass der vorgegebene Randwert auf der anderen Seite angenommen wird. Die beiden anderen Klassen von Verfahren sind sehr allgemein anwendbar und sind Standardmethoden zur Approximation von partiellen Differenzialgleichungen. Beim Differenzenverfahren werden die Ableitungen an Gitterpunkten durch Differenzenquotienten approximiert und damit die Differenzialgleichung in ein System von Differenzengleichungen für die Näherungswerte überführt. Beim Finite-Elemente-Verfahren wird die Lösungsfunktion durch eine einfache Funktion approximiert, die aus stückweisen Polynomen zusammengesetzt wird. Die Koeffizienten der Linearkombination sind die Freiheitsgrade, die so berechnet werden, dass der Approximationsfehler möglichst klein wird. Bei homogenen Problemen können statt Randwertprobleme auch Eigenwertprobleme auftreten.

Literatur

  1. 1.
    W. Beitz und K.-H. Küttner, Dubbel Taschenbuch für den Maschinenbau, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1995Google Scholar
  2. 2.
    L. Collatz, Eigenwertaufgaben mit technischen Anwendungen, Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1963Google Scholar
  3. 3.
    M. Jung und U. Langer, Methode der finiten Elemente für Ingenieure, Teubner-Verlag, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 2001Google Scholar
  4. 4.
    H. Heuser, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, Stuttgart, 3. Aufl., 1995Google Scholar
  5. 5.
    J. Stoer und R. Bulirsch, Einführung in die Numerische Mathematik II, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 4. Aufl., 2000Google Scholar
  6. 6.
    W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling und B. P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, Cambridge, 2001Google Scholar
  7. 7.
    H.-B. Keller, Numercal Methods for Two-Point Boundary-Value Problems, Dover Publications, New York, 1992Google Scholar
  8. 8.
    D. Braess, Finite Elemente, Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 3. Aufl., 2003Google Scholar
  9. 9.
    M. Hanke-Bourgeois, Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens, Teubner-Verlag, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 2002Google Scholar
  10. 10.
    C. Großmann und H.-G. Roos, Numerik partieller Differentialgleichungen, Teubner-Verlag, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 1992Google Scholar
  11. 11.
    R. Kress, Numerical Analysis, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1998Google Scholar
  12. 12.
    H.-R. Schwarz und N. Köckler, Numerische Mathematik, Teubner-Verlag, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 5. Aufl., 2004Google Scholar
  13. 13.
    J. D. Faires und R. L. Burden, Numerische Methoden, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1994Google Scholar
  14. 14.
    R. Plato, Numerische Mathematik kompakt, Vieweg-Verlag, Braunschweig, Wiesbaden, 2. Aufl., 2004Google Scholar
  15. 15.
    Visual Numerics, IMSL Numerical Libraries, www.roguewave.com
  16. 16.
    NAG Numerical Algorithms Group, NAG Numerical Components, www.nag.com

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Universität StuttgartStuttgartDeutschland
  2. 2.Hochschule KarlsruheKarlsruheDeutschland

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