Von den ganzen zu den rationalen Zahlen

Zusammenfassung

Von den ganzen zu den rationalen Zahlen überzugehen, heißt nichts anderes, als Bruchrechnung einzuführen. Ähnlich wie im Falle der ganzen Zahlen erhält man die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren von (dieses Mal ganzen) Zahlen. In diesem Fall ist das Konzept auch leicht zu motivieren, denn jeder weiß, dass man eine Bruchzahl unterschiedlich darstellen kann, zum Beispiel indem man den Bruch erweitert oder kürzt. Die beiden Zahlen, die zusammen das die Zahl definierende Zahlenpaar bilden, sind einfach Zähler und Nenner. Man kann Brüche addieren und multiplizieren, und natürlich ist uns bewusst, dass das Addieren von Brüchen gewisse Tücken hat und man eben nicht „Zähler plus Zähler und Nenner plus Nenner“ rechnen kann. Die systematische Untersuchung der Addition von Brüchen als Addition von Äquivalenzklassen ermöglicht eine genaue Analyse dieser Tücken und erklärt, warum sie nicht vermeidbar sind.