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The Three-Body Problem Earth-Moon-Spaceship / Das Dreikörperproblem Erde-Mond-Weltraumschiff / Le problème des trois corps Terre-Lune-Astronef

  • W. Gröbner
  • F. Cap

Abstract

With reference to the method discussed on the occasion of the IXth International Astronautical Congress, Amsterdam, the solution of the astronomical n-body problem using Lie series is discussed and the known algebraic integrals (conservation of momentum, conservation of angular momentum, conservation of energy) are reproduced. In order to prepare the solution of the three-body problem, the two-body problem is solved by using the new method. Furthermore, the anomaly λ is introduced as an independent variable in order to obtain a parametric representation r(t), φ(t). In doing this, a generalization of Kepler’s equation was found. The solutions of the two-body problem are discussed. Next, the solution of the plane three-body problem is given in which case a decomposition of the Lie operator is useful. After a thorough discussion of the initial data, the closed solution of the three-body problem is given, and two different methods for numerical computation are given in such detail that immediate programming is possible. The voluminous calculations with respect to the spatial three-body problem are not described in extenso due to lack of space and time.

Zusammenfassung

Unter Bezugnahme auf die beim IX. Internationalen Astronautischen Kongreß in Amsterdam besprochene Methode wird zunächst die Lösung des astronomischen n-Körperproblems mit Hilfe Liescher Reihen besprochen, und die bekannten zehn algebraischen Integrale (Schwerpunktsatz, Drehimpulssatz, Energiesatz) werden reproduziert. Als Vorbereitung für die Lösung des Dreikörperproblems wird dann das Zweikörperproblem mit Hilfe der neuen Methode gelöst. Um eine Parameterdarstellung r(t), φ(t) der Bahnen zu bekommen, wird die Anomalie λ als unabhängige Variable eingeführt, wobei sich eine Verallgemeinerung der Keplerschen Gleichung ergibt. Die so gewonnenen Lösungen des Zweikörperproblems werden diskutiert. Anschließend wird die Lösung des ebenen Dreikörperproblems in Angriff genommen, wobei sich eine Aufspaltung des Lie-Operators als sehr günstig erweist. Nach einer ausführlichen Diskussion der Anfangsdaten wird die geschlossene Lösung des Dreikörperproblems angeführt, und zwei verschiedene numerische Rechenverfahren werden so detailliert angegeben, daß eine sofortige Programmierung möglich ist. Die sehr umfangreichen Rechnungen zum räumlichen Dreikörperproblem werden infolge Platz- und Zeitmangels nicht in extenso wiedergegeben.

Résumé

S’appuyant sur la méthode présentée au 9ème Congrès à Amsterdam, la solution du problème des n-corps, utilisant des séries de Lie, est discutée et les intégrales connues (conservation de la quantité de mouvement et de son moment, conservation de l’énergie) sont reproduites. Préparant la solution du problème des trois corps, le problème des deux corps est résolu par la nouvelle méthode. L’anomalie λ est introduite comme variable indépendante dans le but d’obtenir une représentation paramétrique. Ceci conduit à une généralisation de l’équation de Kepler. Les solutions du problème des deux corps sont discutées. Dans la solution du problème plan des trois corps une décomposition de l’opérateur de Lie est utile. Après discussion complète des donnèes intiales, la solution est donnée sous forme finie. Deux méthodes de calcul numérique sont données avec de tels détails que leur programmation immédiate est possible. Les calculs volumineux du problème général des trois corps ne sont pas décrits in extenso, faute d’espace et de temps.

Copyright information

© Springer-Verlag Wien 1960

Authors and Affiliations

  • W. Gröbner
    • 1
  • F. Cap
    • 1
  1. 1.Innsbruck UniversityInnsbruckAustria

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