Synergetik pp 77-114 | Cite as

Der Zufall

Wie weit kommt ein Betrunkener?
  • Hermann Haken
Chapter

Zusammenfassung

Während wir in Kap. 2 ein festes Wahrscheinlichkeitsmaß betrachteten, untersuchen wir nun stochastische Prozesse, bei denen sich das Wahrscheinlichkeitsmaß zeitlich ändert. Wir werden zunächst Modelle zur Brownschen Bewegung als Beispiele für völlig regellose Bewegung behandeln. Sodann werden wir zeigen, wie immer weitere zusätzliche Nebenbedingungen — beispielsweise im Zusammenhang mit der Master-Gleichung — den stochastischen Prozeß immer mehr in einen deterministischen Prozeß überführen.

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Referenzen, weitere Literatur und Bemerkungen

4.1 Ein Modell für die Brownsche Bewegung

  1. Detaillierte Abhandlungen der Brownschen Bewegung werden beispielsweise in folgenden Publikationen gegebenGoogle Scholar
  2. N. Wax (ed.): Selected Papers on Noise and Statistical Processes (Dover Publ. Inc., New York 1954) mit Artikeln von Chandrasekhar, G. E. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, Ming Chen Wang, G. E. Uhlenbeck, M. KacGoogle Scholar
  3. T. T. Soong: Random Differential Equations in Science and Engineering (Academic Press, New York 1973)MATHGoogle Scholar

4.2 Die Zufallsbewegung und ihre Master-Gleichung

  2. M. Kac: Am. Math. Month. 54, 295 (1946)Google Scholar
  3. M. S. Bartlett: Stochastic Processes (Univ. Press, Cambridge 1960)MATHGoogle Scholar

4.3 Verbundwahrscheinlichkeit und Wege. Markov-Prozesse. Die Chapman-Kolmogorov-Gleichung

  1. S. die Referenzen über stochastische Prozesse, Kap. 2. FernerGoogle Scholar
  2. R. L. Stratonovich: Topics in the Theory of Random Noise (Gordon Breach, New York-London, Vol. I 1963, Vol. II 1967)Google Scholar
  3. M. Lax: Rev. Mod. Phys. 32, 25 (1960); 38, 358 (1965); 38, 541 (1966)ADSMATHCrossRefGoogle Scholar
  4. Wegintegrale werden an späterer Stelle in unserem Buch behandelt (Abschn. 6.6), wo auch die entsprechenden Zitate gefunden werden können.Google Scholar

4.4 Über den Gebrauch von Verbundwahrscheinlichkeiten. Momente. Die charakteristische Funktion. Gauß-Prozesse

  1. Diesselben Zitate wie zu Abschn. 4.3.Google Scholar

4.5 Die Master-Gleichung

  1. Die Master-Gleichung spielt nicht nur bei klassischen stochastischen Prozessen eine bedeutende Rolle, sondern auch in der Quantenstatistik. Hier geben wir einige Referenzen zur Quantenstatistik anGoogle Scholar
  2. H. Pauli: Probleme der Modernen Physik. Festschrift zum 60. Geburtstage A. Sommerfelds, ed. by P. Debye (Hirzel, Leipzig 1928)Google Scholar
  3. L. van Hove: Physica 23, 441 (1957)MathSciNetADSMATHCrossRefGoogle Scholar
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  8. Ein neuerer Übersichtsartikel istGoogle Scholar
  9. F. Haake: In Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 66 (Springer, Berlin-Heidelberg-New York 1973) S. 98Google Scholar

4.6 Die exakte Lösung der Master-Gleichung für Systeme in detaillierter Bilanz

  1. Für den Fall vieler Variabler s.Google Scholar
  2. H. Haken: Phys. Lett. 46A, 443 (1974); Rev. Mod. Phys. 47, 67 (1975)CrossRefGoogle Scholar
  3. Dort wird eine weitergehende Diskussion gegeben.Google Scholar
  4. Für den Fall einer Variablen s.Google Scholar
  5. R. Landauer: J. Appl. Phys. 33, 2209 (1962)ADSCrossRefGoogle Scholar

4.8 Die Kirchhoffsche Methode zur Lösung der Master-Gleichung

  1. G. Kirchhoff: Ann. Phys. Chem., Bd. LXXII 1847, Bd. 12, S. 32Google Scholar
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  6. Eine sehr elegante Ableitung der Kirchhoffschen Lösung wurde kürzlich von W. Weidlich angegeben (unveröffentlicht).Google Scholar

4.9 Theoreme zu Lösungen der Master-Gleichung

  1. J. Schnakenberg: Rev. Mod. Phys. 48, 571 (1976)MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  2. J. Keizer: On the Solutions and the Steady States of a Master Equation (Plenum Press, New York 1972)Google Scholar

4.10 Die Bedeutung von Zufallsprozessen. Der stationäre Zustand, Fluktuationen, Wiederkehrzeit

  1. Zum Ehrenfestschen Urnenmodell s.Google Scholar
  2. P. and T. Ehrenfest: Phys. Z. 8, 311 (1907)und auchGoogle Scholar
  3. A. Münster: In Encyclopedia of Physics, ed. by S. Flügge, Vol. III/2; Principles of Thermodynamics and Statistics (Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg 1959)Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990

Authors and Affiliations

  • Hermann Haken
    • 1
  1. 1.Institut für Theoretische Physik und SynergetikUniversität StuttgartStuttgart 80Deutschland

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