Wärmespannungen

Zusammenfassung

Besteht zwischen Innen- und Außenwandung eines Hohlkörpers ein Temperaturgefälle, so muß sich der unterschiedlichen Wärmedehnung zwischen innen und außen zufolge ein Eigenspannungszustand ausbilden, und zwar werden auf der wärmeren Seite Druck- und auf der kälteren Seite Zugspannungen entstehen. Solche Wärmespannungen, die sich den Innendruckspannungen überlagern, können bei öfterer Wiederholung zu Schäden führen. Bei linearem Temperaturverlauf von der Außenseite mit der Temperatur ϑ₁ zur Innenseite mit der Temperatur ϑ₂ entsprechend der Temperaturdifferenz Δ ϑ ergibt sich bei einem Ausdehnungsbeiwert β _ϑ. [mm/ mm °C] die Wärme-Eigenspannung für dünnwandige Schalen (s/r < 0,2) an der Innen- und Außenseite zu

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aaS % baaSqaaiabeg9akbqabaGccqGHXcqSdaWcaaqaaiaadweadaWgaaWc % baGaeqy0dOeabeaaaOqaaiaaigdacqGHsislcqaH9oGBaaGaeqOSdi % 2aaSbaaSqaaiabeg9akbqabaGcdaWcaaqaaiabfs5aejabeg9akbqa % aiaaikdaaaGaaiilaaaa!49A4!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$${\sigma _\vartheta } \pm \frac{{{E_\vartheta }}}{{1 - \nu }}{\beta _\vartheta }\frac{{\Delta \vartheta }}{2},$$

(14.1)

d. h. der Spannungsverlauf über die Wanddicke ist linear und unabhängig von der Dicke der Wand. Bei dickwandigen Schalen tritt ein gewisser, wenn auch nicht sehr bedeutender Einfluß der Wanddicke in Erscheinung. So lassen sich die Wärmespannungen für einen dickwandigen Hohlzylinder herleiten ¹ an der Innenseite zu

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aaS % baaSqaaiabeg9akjaadMgaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGfbWa % aSbaaSqaaiabeg9akbqabaaakeaacaaIXaGaeyOeI0IaeqyVd4gaai % abek7aInaaBaaaleaacqaHrpGsaeqaaOGaeuiLdqKaeqy0dOKaaiik % amaalaaabaGaamizamaaDaaaleaacaWGHbaabaGaaGOmaaaakiaac+ % cacaWGKbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamizamaaDaaaleaa % caWGHbaabaGaaGOmaaaakiaac+cacaWGKbWaaWbaaSqabeaacaaIYa % aaaOGaeyOeI0IaaGymaaaacqGHsisldaWcaaqaaiaaicdacaGGSaGa % aGynaaqaaiGacYgacaGGUbGaamizamaaBaaaleaacaWGHbaabeaaki % aac+cacaWGKbaaaiaacMcacqGHijYUdaWcaaqaaiaadweadaWgaaWc % baGaeqy0dOeabeaaaOqaaiaaigdacqGHsislcqaH9oGBaaGaeqOSdi % 2aaSbaaSqaaiabeg9akbqabaGccqqHuoarcqaHrpGsdaWcaaqaaiaa % igdaaeaacaaIXaaaaiaacIcacaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIYa % aabaGaaGymaiabgUcaRiaadsgacaGGVaGaamizamaaBaaaleaacaWG % HbaabeaaaaGccaGGPaGaaiilaaaa!7818!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$${\sigma _{\vartheta i}} = \frac{{{E_\vartheta }}}{{1 - \nu }}{\beta _\vartheta }\Delta \vartheta (\frac{{d_a^2/{d^2}}}{{d_a^2/{d^2} - 1}} - \frac{{0,5}}{{\ln {d_a}/d}}) \approx \frac{{{E_\vartheta }}}{{1 - \nu }}{\beta _\vartheta }\Delta \vartheta \frac{1}{1}(1 + \frac{2}{{1 + d/{d_a}}}),$$

(14.2a)

an der Außenseite zu

EquationSource% MathType!MTEF!2!1!+- % feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeq4Wdm3aaS % baaSqaaiabeg9akjaadMgaaeqaaOGaeyypa0ZaaSaaaeaacaWGfbWa % aSbaaSqaaiabeg9akbqabaaakeaacaaIXaGaeyOeI0IaeqyVd4gaai % abek7aInaaBaaaleaacqaHrpGsaeqaaOGaeuiLdqKaeqy0dOKaaiik % amaalaaabaGaamizamaaDaaaleaacaWGHbaabaGaaGOmaaaakiaac+ % cacaWGKbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaamizamaaDaaaleaa % caWGHbaabaGaaGOmaaaakiaac+cacaWGKbWaaWbaaSqabeaacaaIYa % aaaOGaeyOeI0IaaGymaaaacqGHsisldaWcaaqaaiaaicdacaGGSaGa % aGynaaqaaiGacYgacaGGUbGaamizamaaBaaaleaacaWGHbaabeaaki % aac+cacaWGKbaaaiaacMcacqGHijYUdaWcaaqaaiaadweadaWgaaWc % baGaeqy0dOeabeaaaOqaaiaaigdacqGHsislcqaH9oGBaaGaeqOSdi % 2aaSbaaSqaaiabeg9akbqabaGccqqHuoarcqaHrpGsdaWcaaqaaiaa % igdaaeaacaaIXaaaaiaacIcacaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaacaaIYa % aabaGaaGymaiabgUcaRiaadsgadaWgaaWcbaGaamyyaaqabaGccaGG % VaGaamizaaaacaGGPaGaaiilaaaa!7818!]]</EquationSource><EquationSource Format="TEX"><![CDATA[$${\sigma _{\vartheta i}} = \frac{{{E_\vartheta }}}{{1 - \nu }}{\beta _\vartheta }\Delta \vartheta (\frac{{d_a^2/{d^2}}}{{d_a^2/{d^2} - 1}} - \frac{{0,5}}{{\ln {d_a}/d}}) \approx \frac{{{E_\vartheta }}}{{1 - \nu }}{\beta _\vartheta }\Delta \vartheta \frac{1}{1}(1 + \frac{2}{{1 + {d_a}/d}}),$$

(14.2b)

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