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Universelle Konstruktionen

  • Jürgen JostEmail author
Chapter
Part of the essentials book series (ESSENT)

Zusammenfassung

Dieses Kapitel erläutert grundlegende abstrakte Konzepte der Kategorientheorie, Diagramme, Kegel, Limiten und Adjunktionen. Ein Diagramm in einer Kategorie besteht aus einer Kollektion von Objekten, die in festgelegter Weise durch Morphismen miteinander verknüpft sind. Eine solche durch Morphismen verbundene Kollektion von Objekten kann durch einen Kegel repräsentiert werden, ein Objekt, dass zu allen Objekten dieser Kollektion Morphismen besitzt, in einer mit der Struktur des Diagramms verträglichen Weise. Zwischen Kegeln kann es wiederum Morphismen geben, und ein Kegel, der Ziel von Morphismen aller anderen Kegel ist, heißt Limes des Diagramms. Auf diese Weise lassen sich Konzepte wie das Produkt oder die Rückholung (pullback) universell formulieren. Beispielsweise ist in einer teilgeordneten Menge das Produkt zweier Elemente deren größte untere Schranke (sofern diese existiert), und in der Potenzmenge einer Menge bekommen wir dadurch den Durchschnitt zweier Teilmengen. Die gleiche universelle Konstruktion ist also in verschiedenen Kategorien jeweils spezifisch realisiert. Durch Dualisierung, also Übergang zur Gegenkategorie (Herumdrehen aller Pfeile), erhalten wir dann Kokegel, beispielsweise Koprodukte. Ein weiteres allgemeines Prinzip der Kategorientheorie besteht im systematischen Gebrauch von Adjunktionen. Ein vergesslicher Funktor vergisst einen Teil der Struktur einer Kategorie. Beispielsweise kann jedem Graphen seine Knotenmenge oder jeder Gruppe die Menge seiner Elemente zugeordnet werden. Man vergisst also die Kanten des Graphen oder die Gruppenrelationen. Die Linksadjungierte eines vergesslichen Funktors wählt die spärlichste, die Rechtsadjungierte die reichhaltigste Struktur aus, die auf dem reduzierten Objekt, möglich ist, beispielsweise den Graphen ohne Kanten bzw. den vollständigen Graphen, bei dem sämtliche Knoten durch Kanten verbunden sind.

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© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Max-Planck-Institut für Mathematik in den NaturwissenschaftenLeipzigDeutschland

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