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Funktoren und Prägarben

  • Jürgen JostEmail author
Chapter
Part of the essentials book series (ESSENT)

Zusammenfassung

Dieses Kapitel behandelt Funktoren und die daraus abgeleiteten Prägarben. Die Funktoren zwischen zwei Kategorien bilden wieder eine Kategorie, deren Morphismen natürliche Transformationen heißen. Zu einer Kategorie kann man die Gegenkategorie bilden, bei der die Richtung aller Pfeile herumgedreht ist. Ein Funktor von einer solchen Gegenkategorie in die Kategorie der Mengen mit den Inklusionen als Morphismen heißt Prägarbe. Wenn man also einem Objekt der ursprünglichen Kategorie auf diese Weise eine Menge zuordent und wenn man dann einen Pfeil von einem anderen Objekt in dieses Objekt hat, so wird diesem Objekt eine Untermenge der vorigen Menge zugeordnet. Morphismen in Objekte der Kategorie führen also zu Einschränkungen der zugehörigen Mengen. Beispielsweise kann man jeder Teilmenge \(\textit{U}\) eines topologischen Raumes die Menge der stetigen Funktionen auf \(\textit{U}\) zuordnen, und diese lassen sich dann auf jede Teilmenge von \(\textit{U}\) einschränken. Der Yonedafunktor ordnet jedem Objekt einer Kategorie die Menge der Morphismen der Objekte dieser Kategorie in das gegebene Objekt zu. Jedem Objekt wird somit eine Prägarbe zugeordnet. Der Satz präzisiert das abstrakte Prinzip der Kategorientheorie, dass nämlich Objekte durch ihre Morphismen bestimmt sind. Nach diesem Satz sind nämlich zwei Objekte genau dann isomorph, wenn die durch den Yonedafunktor gegebenen Morphismenmengen isomorph sind.

Copyright information

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019

Authors and Affiliations

  1. 1.Max-Planck-Institut für Mathematik in den NaturwissenschaftenLeipzigDeutschland

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