Aggregationslösungen

Zusammenfassung

Um das Klein-Nataf-Problem zu lösen, hat man Funktionen anzugeben, die der Funktionalgleichung (2.7) genügen. Sofern alle Produktions- und Indexfunktionen differenzierbar sind, erhält man diese Lösung über ein System von Differentialgleichungen, das sich aus (2.7) ergibt. Dieses Verfahren hat Nataf [24] angewandt.¹⁾ Gorman [12] wies nach, daß Gleichung (2.7) sich über in der Literatur bekannte Funktionalgleichungen²⁾ lösen läßt, wenn alle Funktionen stetig sind. Dabei spielt der Begriff der „funktionalen Separabilität“ eine entscheidende Rolle. Schon Leontief [20] hatte „Separabilität“ eingeführt als Kriterium für die Möglichkeit, mehrere Variable in einer differenzierbaren Funktion „zusammenzufassen“. Gormans Erweiterung dieses Begriffs bezog sich dann auf gegebene Präferenzordnungen bzw. stetige Nutzenfunktionen. Bedingungen für die Existenz von gewissen „Sub-Nutzenfunktionen“ — also von Aggregaten (in unserer Terminologie) — ließen sich mit Hilfe der Separabilität nun angeben.³⁾ Dabei ist jedoch die Stetigkeit ganz unwesentlich. Wir werden sehen, daß auch für unsere in Abschnitt 2.3. gestellten Probleme 1 und 2 Lösungsbedingungen sich formulieren lassen, wenn uns die „natürliche“ Verallgemeinerung des Begriffs „Separabilität“ für ↑-Funktionen zur Verfügung steht.