Zusammenfassung
Die Theorie des Abbildungsgrades für stetige Abbildungen des Rn wurde um 1900 von L. Kronecker, H. Poincaré, L. Brouwer u.a. im Rahmen der kombinatorischen Topologie aufgebaut (vgl. [2], [3]). Da dieser topologische Zugang der Gründerzeit einen erheblichen Aufwand an Begriffen erfordert, die für viele Analytiker von sekundärer Bedeutung sind, geben wir eine rein analytische Definition, in der Art, wie sie nach 1950 von M. Nagumo [41], E. Heinz [28] u.a. entwickelt wurde. Sie beruht im wesentlichen auf den Sätzen 6.1 – 6.3, also mit Ausnahme des Lemmas von Sard auf Tatsachen, die schon in den Anfängervorlesungen angeboten werden. Der Abbildungsgrad ist offensichtlich dem Wunsch entsprungen, im Rn ein ähnlich nützliches Hilfsmittel wie die Windungszahl ebener Kurven zu haben; wir werden in § 13 sehen, daß er sogar eine direkte Verallgemeinerung der Windungszahl auf höhere Dimensionen ist. Die Verhältnisse im R2 sind ausführlich in der Monografie [35] dargestellt, die wir auch wegen ihrer zahlreichen Anwendungsbeispiele sehr empfehlen; dort wird eine geringfügige Modifikation des Begriffs Windungszahl, die sogenannte Drehung ebener Vektorfelder behandelt. Obwohl die wichtigsten Eigenschaften der Windungszahl und ihre Anwendungen, z.B. auf Aussagen über Nullstellen holomorpher Funktionen, aus einer Einführung in die Funktionentheorie bekannt sein werden, wollen wir sie hier doch kurz zusammenstellen, weil dadurch einerseits die allgemeine Begriffsbildung plausibel, und andererseits der Zusammenhang mit den in der Einleitung skizzierten Fragestellungen erkennbar wird.