Advertisement

Les Invariants DiffÉRentiels dans La ThÉOrie des Fonctions de Plusieurs Variables Complexes

  • E. Peschl
Chapter
Part of the C.I.M.E. Summer Schools book series (CIME, volume 11)

Abstract

Dans la théorie classique des fonctions analytiques les invariants différentials furent intoduits pour la première fois par H.A.Schwarz en résolvant le problème de représenter conformé-ment soit un polygone ou un domaine limité par des arcs de cercles. En employant soit 1'invariant \(\frac{{{\rm W\prime\prime}}}{{{\rm W\prime}}}\) Par rapport au groupe. ζ = az + b, ou la dérivée de SCHWTARZ {w,z}, invariant du groupe \(\zeta= \frac{{{\rm az+b}}}{{{\rm cz+d}}}\) et en en l'égalant à une fonction rationelle proprement choisie il parvient à trouver la fonction qui effectue la représentation cherchée.

Dans la théorie des représentations holomorphes définies dans un domaine de l'espace Cn de n (≥2) variables complexes la situation est radicalement altérée. II ne sera guère possible de caractériscr une olasse de domaines du Cn qui se laissent représenter holomorphiquement sur un domaine donné et il sera encore plus difficile sinon impossible d'en trouver un sous-ensemble raisonnable et suffisamment étendu de domaines dont la frontière permet une simple description geométrique. De plus il faut rappelcr que deux opérations jouent un rôle essentiel dans ce problème classique qui ne permettent pas de généralisation convenable pour être employées dans Ie même sens; c'est le principe de syneétrie de SCHWARZ et la représentation des coins angulaires. Le principe de symétrie, il est vrai? existe dans le Cn aussi, mais par rapport à des variétés de dimension (réelle) n (et non pas 2n − 1), ne contenant pas des surfaces F2 analytiques (“courbes complexes”). Et en outre le problème de réduire les angles spatiaux par représentation analytique à quelques peu de types n'est pas à résoudre sauf seulement dans quelques cas tout triviaux. Si l'on exige que pour un m fixe,2 ≤ m ≤ 2 n−1, chaque Em linéaire (de dimension réelle m) par () soit représcnté sur un Em pareil, la représentation se réduit à une transformation linéaire et il suffit de supposer quo cette hypothèse tienne seulement dans un angle spatial arbitralrement petit.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

LitÉRature

  1. 1.
    L.V.AHLFORS, Geometric der Riemannschen Flächen. = Compets rendus du Congrès international des mathématiciens Oslo 1936 I.p. 239–248Google Scholar
  2. 2.
    Üiber die Anwendung differentialgeo-metrischer Llethoden zur Untersuchung von Überlagerungsflächen. Acta Soc, Scient. Fenn., Nova Ser.2, No.6.Google Scholar
  3. 3.
    L.V.AHLFORS, An extension of Schwarz's Lemma. Trane. Amer. Hath. Soc. 43 (1938), p. 359–364MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  4. 4.
    The theory of meromorphic curves. Acta Soc. Scient. Fenn.,Nova Ser. A3 31 (1941).MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  5. 5.
    H.BEHNKE, E.PESCHL, Konvexität in bezug auf analytische Ebenen im kleinen und grossen. Math. Ann. 111 (1935), pi 158–177.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. 6.
    Starre Regularitätsbereiche. Monat-shefte f. Math. u. Phys. 43 (1936) p.493–502.CrossRefGoogle Scholar
  7. 7.
    H.BEHNKE, P.THULLEN, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen, Ergebnisse der I.lathematik und ihrer Grenzgebiete III, 3 (1934) surtout p.105ff.zbMATHGoogle Scholar
  8. 8.
    S.BERGMAN, Sur les fonctions orthogonales de plusieurs variables complexes avec les applications à la théorie des fonctions analytiques, Interscience Publishers 1941 et Mémorial des Sciences Mathématiques, vol.106 (1947).Google Scholar
  9. 9.
    S.BERGMAN, Sur la fonction-noyau d'un domaine et ses applications dans la théorie des transformations pseudo-conformes, Mémorial des Sciences Mathématiques, vol. 108 (1948).Google Scholar
  10. 10.
    The kernel function and conformal mapping. Mathematical Surveys V., Amer. Hath.Soc.1950, surtout p.138 ff. (et la littérature de Bergman citée dans ce livre).Google Scholar
  11. 11.
    S.B0CHNER, Űber orthogonale Systeme analytischer Funktionen, Math. Z. 14 (1922).Google Scholar
  12. 12.
    H.BRAUN, Hermitian Modular Functions III. Ann. of. Math. 53 (1951) p.143–160.Google Scholar
  13. 13.
    C,CARATHÉODORY, Űber das Schwarzsche Lemma bei analytischen Punktionen von zwei komplexen Veränderlichen. Math. Ann. 97 (1926) p. 76–98.CrossRefGoogle Scholar
  14. 14.
    Űber die Geometrie der analytischen Abbildungen, die durch analytische Funktionen von zwei Veränderlichen vermittelt werden. Abh. Math. Sem. Hamburg. Universität 6 (1928) p.96–145.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. 15.
    Űber die Abbildungen, die durch Systeme von analytischen Punktionen vonmehreren Veränderlichen erzeugt werden. Math.Z. 34 (1932) p.758–792.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  16. l6.
    ÉCARTAN. Sur la géometrie pseudo-conforme des hypersurfaces de l'espace de deux variabl s complexes I: Ann.Mat. pura Appl.IV. 11 (1932), II.Ann. Scuola nevrm. super. Pisa II. 1, (1932).Google Scholar
  17. 17.
    É.CARTAN, Sur les donaines bornés homogènes de 1'espace de n variables complexes. Abh. Hath, Sem. Hamburg. Universität 11 (1936) p.116–162.CrossRefGoogle Scholar
  18. 18.
    F.CONFORTO, Abelsche Funktionen und Algebraische Geometrie. Aus dem Nachlass bearbeitet und herausgegeben von W. Gröbner, A. Andreotti und II. Rosati. Grundlefrren der Hath, Wissenschaften 84,(1956)Google Scholar
  19. 19.
    W.V.D.HODGE, The Theory, and Applications of harmonic Integrals, Cambridge, 1941.zbMATHGoogle Scholar
  20. 20.
    E.KAHLER, Über ein geometrisches Kennzeichen der analytischen Abbildungen im Gebiete zweier Veränderlichen. Ber. Vorhandl. sächs. Akad. Leipzig 80 (1928).Google Scholar
  21. 21.
    Űber eine bemerkenswerte Hermitesehe Metrik. Abh. Math. Sem. Hamburg 9., P.173–186.Google Scholar
  22. 22.
    A.KAWAGUCHI, Theory of areal spaces. Red. Hat. e Appl. V. Ser. 12 (195.4), p. 373–386. Voir aussi: On Aroal Spaces, Tensor, n. Ser. 1,2,3. (1951–53)MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  23. 23.
    H.KLINGEN, Diskontinuierliche Gruppen in symmetrischen Räumen I. Math. Ann. 129, (1955), p. 345–369, II Math. Ann. 130, 0955), p. 137–146.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  24. 24.
    Űber die analytischen Abbildungen.verallgemeinerter Einheitskreise auf sich. Math. Ann. 132, (1956), p.134–144.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  25. 25.
    H.KNESER, Ordnung und Nullateller hai ganzen Funktionen zweier Veranderlichen. Sonderausgabe a. d. Sitzber. preuss. Akad. Wissensch.,physik,-math. Kl., 31, (1936).Google Scholar
  26. 26.
    H.KNESER, Zur Theorie der gebrochenen Funktionen mehrerer Veranderlichen. Jber. DMV. 48 (1938), p. 1–28.zbMATHGoogle Scholar
  27. 27.
    R.NEVANLINNA, Eindeutige analytische Funktionen. Grundlohren der Mathematischen Wissenachaften 46, l.Auflage 1936, 2.Auflage 1953.Google Scholar
  28. 28.
    Uniformisierung. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 64, (1952).Google Scholar
  29. 29.
    E.PESCHL, Űber die Bidler von Sternbereichon. Ein allgemeiner Abbildungssatz im Raume mehrerer komplexer Veränderlichen. Bericht Llathematiker-Tagung Tubingen 1946, p.112–116.Google Scholar
  30. 30.
    Les invariants différentiels non holomorphes et leur rôle dans la théorie des fonctions. Rendic. Sem. Mat. Messir.a, 1 (1955) p. 100–108.Google Scholar
  31. 31.
    E.PESCHI, Automorphisimes holomorphes de l'espace à n dimensions complexes, C.R. Acad, des sciences Paris 242, (1956), p. 1836–1838.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  32. 32.
    E.PESCHI und F.ERWE, Űber beschränkte Systeme von Funktionen. Math.Ann. 126, (1953) p.185–220.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  33. 33.
    E.PESCHL und K.KRAUTWURST, Űber das Aquivalenzproblem fűr reguläre Abbildungen im kleinen (insbesondere im Raum von 3 komplexen Veranderlichen). Math. Institut Bonn. (Erscheint demnachst,).Google Scholar
  34. 34.
    E.PESCHL und CL.MŰLLER, Zur Verailgemeinerung des Schwarz-schen Lemmas auf mehrore Bimensionen. Proc. Cantor, Phil. Soc. 46. (1950), p.396–405.CrossRefGoogle Scholar
  35. 35.
    G.D RHAH. and K.KODAIRA, Harmonic Integrals, Lectures delivered at the Institute for Advanced Study 1950. Revised Nov. 1953, reprinted 1954.Google Scholar
  36. 36.
    M.SCHIFFER and D.C.SPENCER, Functionals of Finite Rieman Surfaces, Princeton (N.J.) 1954 (Princeton Mathematical series 16.)(v. surtout p.408 ff. et la littérature y citée).Google Scholar
  37. 37.
    J.A.SCHOUTEN, Ricci-Calculus, Grundlehron dor Mathematischen Wissenschaften, 10. 2nd edition 1954 (voir surtout p. 188 et la littérature y citée).Google Scholar
  38. 38.
    C.L.SIEGEL, Sympletic Geometry, Amer. J. Math. 65, (1943), l. 1–86.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  39. 39.
    Discontinuous Groups, Ann. of Math. 44, (1943), p.674–689.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  40. 40.
    Analytic Functions of several complex Variables, Notes by Batoman, Inst. for Adv. Study, 1948–49.Google Scholar
  41. 41.
    W.STOLL, Kehrfache Integrale auf komploxen Llanningfaltigkeitcn. Ilath. Z. 57, (1952), p.116–154.Google Scholar
  42. 42.
    Ganzo Funktionen endlicher Ordnung mit gegebenen Nullstellonflächen. Math. Z. 57, (1953), p.211–237.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  43. 43.
    W.STOLL, Die beiden Hauptsätze der Wertvertei-lungstheorie bei Funktionen mohrerer komplexer Veranderlichen. I. Acta math. 90, (1953), p.1–115. II. Acta math, 92, (1954), p.55–169.CrossRefGoogle Scholar
  44. 44.
    II. Acta math, 92, (1954), p.55–169.MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  45. 45.
    A. WEIL, Theoric der Kählerschen Mannigfaltigkeitcn. Gastvorlesungen Universität Göttingen. Wintersemester 52/53.Google Scholar
  46. 46.
    H.WEYL and J.WEYL, Meremorphic curves. Ami. Math. (2), 39, (1938). p. 516–538.MathSciNetzbMATHGoogle Scholar
  47. 47.
    Meromorphic Functions and analytic curves. Annals of math, studies, Princeton (N.J. ), 1943.zbMATHGoogle Scholar
  48. 48.
    J.WEYL, Analytic curves Ann. Math., (2), 42 (1941), p.371–408.CrossRefGoogle Scholar
  49. 49.
    W.WIRTINGER, Zur formalen Theorie der Funktionen von mehreren komplexen Veränderlichen, Math. Ann 97, (1927).Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

Authors and Affiliations

  • E. Peschl
    • 1
  1. 1.BonnGermany

Personalised recommendations