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Introduzione alla Teoria dei Gruppi Discontinui di Trasformazioni

  • W. Fenchel
Chapter
Part of the C.I.M.E. Summer Schools book series (CIME, volume 11)

Abstract

I gruppi discontinui di trasformazioni costituiscono una parte essenziale in molti rami della matematica: nella cristallegrafia, nella teoria delle funzioni ellitiche, abeliane ed automorfe, nell'aritnietiea superiore, in particolare nella teoria analitica delle forme quadratiche, nella geometria differenziale globale, nella topologia. Una grande varietà di tipi diversi di tali gruppi è stato studiato nel seoolo scorso. Nello stato attuale della teoria quasi tutte le ricerche profonde concernono classi molto speciali od anzi singoli gruppi; basta ricordare il gruppe modulare. A causa della grande molteplicità di queste ricerche sarebbe impossibile, in poche lezioni, presentare i vari aspetti importanti della teoria, Le scopo di questc lezioni è molto più modesto. Noi ci limiteremo allo sviluppo, dal punto di vieta dolla matematica odierna, di uno schema generale, se pur non molto penetrante, che comprende tutti i casi importanti per le applioazioni, ed ad examinarlo con alcuni esempi presi di preferenza dalla teoria delle funzioni automorfe.

I gruppi discontinui occorrenti nelle applicazioni sono di to sottogruppi di gruppi di Lie, in generale anzi di gruppi di trasformazioni lineari (intere o fratte) tra essi i gruppi di movimenti di spazi euclidei e noneuclidei, Le proprietà generali si illustrano però più chiaramente, se si basa la teoria, secondo C. L. Siegel (18), (21), sul concetto generale di gruppo topologico, Cominceremo percio con un breve richiamo di alcune nozioni e risultati della topologia generale (cfr. per es. i trattati di P. Alexandroff e H. Hopf (1), N, Bourbaki (5), J. L.Kelley (11) e particolarmente della teoria dei gruppi topologici (cfr. i trattati di L. Fontrjagin (17), N. Bourbaki (5), A. Weil (24), D. Montgomery o L; Zippin (12)). I gruppi discontinui vongono poi introdotti come sottogruppi discreti di gruppi topologici di trasformazioni. Naturalmente le idee principali della teoria fondata su questa nozione generale sono in origine classiche; esse sono dovute all. Poincaré, F. Klein, L. Picard, G. Fubini, R, Fricke ed altri. Ira i lavori più recenti occorre citare quelli di P. J. Myrberg e specialmente, pel punto di vista della topologia generale, quelli di C. L. Siegel.

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

Authors and Affiliations

  • W. Fenchel

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