Fourierreihen

Abstract

Der Ausdruck „Harmonische Analyse“, der im Titel von Teil VIII vorkommt, bezeichnet verschiedene mathematische Techniken, bei denen weitgehend beliebige Funktionen als Überlagerung von Schwingungen dargestellt werden. Dies kann in Form unendlicher Reihen geschehen (Fourierreihen) oder auch in Form von Integralen (Fouriertransformation – vgl. Kap. 33). Die Methode ist aber insgesamt sehr flexibel und keineswegs auf eigentliche Schwingungen, also trigonometrische Funktionen, beschränkt. Vielmehr wählt man sich ein System von Ansatzfunktionen, d. h. spezielle Funktionen, über die man besonders viel weiß oder mit denen man besonders gut rechnen kann, und versucht dann, eine gegebene Funktion als (im Allgemeinen unendliche) Linearkombination dieser Ansatzfunktionen darzustellen. Meist kann man auf dem Vektorraum der zur Debatte stehenden Funktionen ein Skalarprodukt einführen, in Bezug auf das die Ansatzfunktionen orthogonal sind, und dann ist die Darstellung einer gegebenen Funktion als Überlagerung von Ansatzfunktionen prinzipiell nichts anderes als die Entwicklung eines Vektors nach einer Orthonormalbasis (Satz 6.15). Gerade dieser geometrische Aspekt macht die Theorie besonders anschaulich und übersichtlich, und deshalb lohnt es sich, ihn zunächst in allgemeinem Rahmen gesondert zu betrachten. Dies geschieht in Abschn. A., während die weiteren Abschnitte dieses Kapitels von den klassischen Fourierreihen handeln, bei denen die trigonometrischen Funktionen als Ansatzfunktionen zu Grunde gelegt sind.