Grenzwerte von Funktionen; Stetigkeit

Auszug

Für das Verständnis der gesamten Differential- und Integralrechnung sind der Grenzwert und die Konvergenz von Funktionen von fundamentaler Bedeutung. In enger Anlehnung an Kapitel 3 wird zunächst der Grenzwert von f für x →∞ wiederum über den Umgebungsbegriff definiert, Rechengesetze zusammengestellt und der Begriff der Asymptote eingeführt. Der Grenzwert von f für 0 x → x₀ wird sorgfältig und detailliert mit Hilfe des (ε δ)-Formalismus verdeutlicht und mit Hilfe des Übertragungsprinzips die Korrespondenz zum Grenzwert von Folgen aufgezeigt. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei den Begriffen einseitige und uneigentliche Grenzwerte, bestimmte und unbestimmte Divergenz geschenkt und gezeigt, wie Grenzwertsätze zur Berechnung von Grenzwerten herangezogen werden können. Die ausführliche Betrachtung der Konvergenz und Divergenz von Funktionen erleichtert dem Leser den Zugang zur Stetigkeit von Funktionen. Nach Einführung der Stetigkeit und Unstetigkeit von Funktionen sowie der Klassifikation von Unstetigkeitsstellen wird anhand der Sätze von Weierstraß und Bolzano sowie des Zwischenwertsatzes der Begriff Stetigkeit nochmals geometrisch erläutert. Es folgen die Erklärungen der allgemeinen Exponential- und Potenzfunktion und Hyperbolischen Funktionen und ihrer Umkehrfunktionen. Ausgewählte Grenzwerte beschließen das Kapitel.