Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques

  • Jean-Pierre Serre
Part of the Lecture Notes in Mathematics book series (LNM, volume 350)

Abstrait

Soient K un corps de nombres algébriques totalement réel, et ζK sa fonction zêta. D’après un théorème de Siegel [24], ζK(1 − k) est un nombre rationnel si k est entier ⩾ 1; il est ≠ 0 si k est pair. Lorsque K est abélien sur Q, on peut écrire ce nombre comme produit de «nombres de Bernoulli généralisés»:
$$ \zeta _K (1 - k) = \mathop \prod \limits_X L(X,1 - k) = \mathop \prod \limits_X ({{ - b_k (X)} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - b_k (X)} k}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} k}), cf. [18], $$
, où χ parcourt l’ensemble des caractères de Q attachés à K. Cela permet de démontrer des propriétés de congruence reliant les ζK(1−k) pour diverses valeurs de k, et d’en déduire par interpolation une fonction zêta p-adique pour le corps k, au sens de Kubota-Leopoldt (cf. [7], [10], [11], [16]).

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Copyright information

© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973

Authors and Affiliations

  • Jean-Pierre Serre
    • 1
  1. 1.ParisFrance

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