Zufallsvariable, diskrete und kontinuierliche Verteilungen

Auf der Grundlage eines Wahrscheinlichkeitsfeldes (Ω, S, W) ist eine Zufallsvariable durch die Abbildung X: Ω → ℜ dann definiert, wenn für jede reelle Zahl y für die Menge der Elementarereignisse \(\left\{ {\omega |X(\omega ) \leq y} \right\} \in S \) gilt, d.h. diese ein Ereignis ist und damit eine Wahrscheinlichkeit \(W(\left\{ {\omega |X(\omega ) \leq y} \right\}) = F(y)\) besitzt. F(y) heißt Verteilungsfunktion. Durch sie ist eine Zufallsvariable eindeutig beschrieben. F(y) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X ≤ y ist. Bei den Anwendungen geht man zumeist von dieser direkten Definition einer Zufallsvariablen durch F aus. Aus dem Wahrscheinlichkeitscharakter der Verteilungsfunktion ergeben sich die folgenden formalen Eigenschaften: