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Schätzung eines nichtlinearen Modells mit endogenen Rückkoppelungen zur Beschreibung der langfristigen Entwicklung der Staatsquote in der Bundesrepublik Deutschland

  • Klaus Müller

Zusammenfassung

Aufbauend auf den theoretischen Überlegungen in Kapitel 11.2. und 11.3. soll im folgenden das in Kapitel 11.1. vorgestellte Modell zur Beschreibung der langfristigen Entwicklung der Staatsquote für die Bundesrepublik Deutschland geschätzt werden. Dabei interessiert zum einen der Erklärungswert eines derartigen Modellansatzes, d.h. die Frage, ob sich das aufgestellte nichtlineare Modell grundsätzlich zur Beschreibung der Entwicklung der Staatsquote eignet. Zum anderen sind die folgenden Analysen auf die Beantwortung der Frage ausgerichtet, welche der oben beschriebenen Möglichkeiten hinsichtlich der unterschiedlichen Parameterkonstellationen in der Realität vorliegen; d.h. es wird untersucht, ob grundsätzlich ein derart hoher Komplexitätsgrad vorliegt, daß mit deterministischem Chaos gerechnet werden muß, oder ob eine derartige Parameterkonstellation eher einen Ausnahmefall darstellt.

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Literatur

  1. 1.
    Unter Meßgenauigkeit wird der Grad der Übereinstimmung zwischen dem “wahren” Wert eines Indikators und dem “gemessenen” Wert dieses Indikators verstanden; d.h. inwiefern Meßfehler bei der statistischen Erfassung, Aufbereitung und Verarbeitung der Daten auftreten. Abbildungsgenauigkeit bezieht sich auf die Übereinstimmung zwischen dem theoretischen Konstrukt, das quantifiziert werden soll und dem, was tatsächlich gemessen wird (z.B.: BSP als Wohlstandsindikator); vgl. Schäffer, K.-A. (1977), S. 235 ff. Auf die Diskussion über die Meß-und Abbildungsgenauigkeit der zugrundeliegenden Daten wird verzichtet, da hierzu ausführliche Untersuchungen vorliegen; vgl. bspw. Rainer, A. (1993); Mittelbach, H. (1992); Biet, J. u.a. (1992); Leipert, C. (1982) und Wissenschaftlicher Beirat beim Bundesministerium der Finanzen (1976). Informationen bezüglich der genauen Abgrenzungen des staatlichen Sektors finden sich in International Monetary Fund (1985).Google Scholar
  2. 2.
    Die Daten bezüglich der Staatsquote in der kürzeren Datenbasis (1950–1990) stammen für die Jahre 1950–1986 aus Statistisches Bundesamt (1987), S. 21 sowie aus eigenen Berechnungen für die Jahre 1987–1990 auf der Basis des Statistischen Jahrbuchs 1992, S. 664 und 672. Die reale Wachstumsrate des BSP wurde für alle Jahre anhand der im Statistischen Jahrbuch 1992, S. 655 enthaltenen Angaben zum BSP (in Preisen von 1985) berechnet. Im längeren Stützbereich (1872–1990) werden die Daten des kürzeren Stützbereiches um die in Weitzel, 0. (1968), Tabelle 7 enthaltenen Daten ergänzt und anhand anderer in der Literatur vorhandener empirischer Untersuchungen überprüft und - falls erforderlich - im Interesse einheitlicher Abgrenzungen modifiziert. Vgl. Hofmann, W. G. (1965); Weitzel, O (1968); Recktenwald, H.C. (1977); Statistisches Bundesamt (1985), Statistisches Bundesamt (1987) und Statistisches Bundesamt: Statistisches Jahrbuch für die Bundesrepublik Deutschland (verschiedene Jahrgänge) sowie Dück, A. (1988) und Müller, K. (1990). Die zur Modellschätzung herangezogenen Daten sind in Tabelle 1 in Gliederungspunkt 111.3.3. zusammengefaßt.Google Scholar
  3. 3.
    Vgl. SPSS Inc. (1988b) sowie SPSS Inc. (1989), S. B-35 - B-47.Google Scholar
  4. 4.
    Vgl. SPSS Inc. (1989), S. B-42 und B-36; die Parameterschätzung erfolgt analog zum linearen Regressionsmodell, indem die Summe der quadrierten Abweichungen minimiert wird. Zu den verschiedenen Schätzalgorithmen vgl. Fox, J. (1984) S. 206 ff. und Draper, N./Smith, H. (1981), S. 458 ff., insbesondere S. 470 f.Google Scholar
  5. 5.
    Vgl. SPSS Inc. (1989), S. B-36 f.; ferner wird analog zum linearen Modell von einer additiven Verknüpfung der Störgröße mit der Regressionsfunktion ausgegangen; vgl auch Rinne, H. (1976), S. 84 ff. u. S. 128 ff.Google Scholar
  6. 6.
    Ferner müßte der Frage der Stationarität bzw. der Nichtstationarität der verwendeten Zeitreihen und dem damit verbundenen Kointegrationsproblem nachgegangen werden. Auf eine Auseinandersetzung mit dieser Fragestellung wird hier jedoch aus zwei Gründen verzichtet: Zum einen scheidet die Differenzenbildung im Falle einer nicht gegebenen Stationarität der Staatsquote bei dem hier aufgestellten Modell (modifizierte VERHULST-Gleichung) von vornherein aus, da dieses Modell eine Variable, die sich im Intervall [0,1] bewegt, voraussetzt und folglich nicht auf eine Variable übertragen werden kann, die bei der Veränderung der Staatsquote ansetzt. Zum anderen liegen noch erhebliche Defizite im Bereich der methodischen Möglichkeiten zur Behandlung derartiger Probleme in nichtlinearen Funktionen mit einem deterministischen (nichtlinearen) Trend vor, da die verfügbaren Verfahren in erster Linie auf den Umgang mit Kointegration in linearen Modellen ausgerichtet sind. Da gleichzeitig die vorliegende Analyse nicht auf die Identifizierung des besten Prognosemodells zur Beschreibung der langfristigen Entwicklung der Staatsquote, sondern auf die Untersuchung der Möglichkeiten und Grenzen der Verwendung einfacher nichtlinearer Modelle mit endogenen Rückkoppelungen - wie der o.a. modifizierten VERHULST-Gleichung - abzielt, erscheint die Vernachlässigung von Fragen der Stationarität und Kointegration durchaus zulässig und zieladäquat. Vgl. zum Stationaritäts-und Kointegrationsproblem Charmenza, W.W./Deadman,D.F. (1992), S. 116 ff. sowie Hendry, D.F. (1986); Engle, R.F./Granger, C.W.J. (1987); Granger, C.W.J. (1990) und Davidson, J./Hall, S. (1991).Google Scholar
  7. 7.
    Vgl. SPSS Inc. (1989), S. B-36 ff.Google Scholar
  8. 8.
    Vgl. SPSS Inc. (1989), S. B-38; Kvalseth, T.O. (1985) und Rinne, H. (1976), S. 74 f.Google Scholar
  9. 9.
    Die Schätzungen wurden ebenfalls mit einer um eine Periode verzögerten Variablen für das Wachstum des realen BSP durchgeführt. Dabei ging allerdings zum einen der Erklärungswert der Schätzfunktion zurück, und zum anderen wurden die 95%-Konfidenzintervalle deutlich breiter, was auf eine geringere Signifikanz der geschätzten Parameter hinweist. Eine Substitution der realen BSP-Wachstumsrate durch das nominale Wachstum führte ebenfalls zu einem Rückgang des Erklärungswertes der Schätzfunktion und einer deutlichen Verbreiterung der 95%-Konfidenzintervalle, so daß auch dieser Ansatz nicht weiter verfolgt wurde. Die asymptotische Korrelationsmatrix der geschätzten Parameterwerte zeigt für keine der in Übersicht 3 und 4 wiedergegebenen Schätzergebnisse eine derart enge Korrelation zwischen einzelnen Parametern, daß eine Überbestimmung des Modells zu befürchten wäre.Google Scholar
  10. 10.
    Vgl. bspw. Recktenwald, H.C. (1977), S. 720 f.; zum Vergleich durchgeführte Schätzungen mit erreichen mit 95,3% bzw. mit 95,8% zwar ähnlich hohe Erklärungswerte; allerdings ergibt sich das Problem, daß das konstante Glied in der Schätzfunktion nicht signifikant von 0 verschieden ist. Wird dieses Ergebnis in die Betrachtung einbezogen, d.h. auf ein absolutes Glied bei der Modellspezifikation verzichtet, so sinkt der Erklärungswert der linearen Ansätze (insbesondere für die zweite o.a. Funktion) deutlich unter den entsprechenden Wert des nichtlinearen Ansatzes.Google Scholar
  11. 11.
    Wie die Ausführungen im Gliederungspunkt 11.3.1. gezeigt haben, resultieren für einen Nichtlinearitätsfaktor von 5,33 die ersten Bifurkationspunkte bei Werten des Kontrollparameters a von größer ca. 1,45. Der Wert des Nichtlinearitätsfaktors, bei dem die erste Bifurkation auftritt, ist hier mit ca. 28 im Vergleich zu den Ausführungen in 11.3.2. (ca. 14) deutlich höher. Dieser Unterschied geht darauf zurück, daß den Darstellungen und Berechnungen in 11.3.2. ein Kontrollparameter von a = 1,15 zugrunde liegt, während hier der geschätzte Wert des Kontrollparameters (1,08) verwendet wird; vgl. hierzu auch die Ausführungen in 11.3.3. zum Zusammenhang zwischen dem Kontrollparameter und dem Nichtlinearitätsfaktor.Google Scholar
  12. 12.
    Selbst die unrealistische Halbierung des BSP (BSP-Wachstumsrate von - 50%) würde den Nichtlinearitätsfaktor bei der vorliegenden Parameterkonstellation nicht auf ein mit Bifurkationen verbundenes Niveau bringen und folglich auch nicht zu einem neuen Entwicklungspfad führen.Google Scholar
  13. 14.
    Diese systematisch erscheinenden Abweichungen könnten auf die Nichteinbeziehung politischer Variablen zurückzuführen sein. Dies könnte möglicherweise mittels des Einbaus von Dummies für konservative bzw. sozial(istisch) orientierte Regierungen in die Schätzfunktion beseitigt werden, wenn man unterstellt, daß von einer ideologischen Grundorientierung Rückschlüsse auf das Ausgabeverhalten einer Regierung gezogen werden können; vgl. hierzu die Ausführungen im Rahmen der Ergebnisinterpretation in 111.3 sowie zu Erklärungsversuchen bezüglich der Modelleffekte die Überlegungen in Kapitel IV. bringen mit 97,0% bzw. mit 98,3% zwar ähnlich hohe Erklärungswerte; allerdings erreichen dabei nicht alle Koeffizienten das erforderliche Signifikanzniveau. Eine entsprechende Modifikation der Schätzfunktion führt zu deutlich niedrigeren Erklärungswerten. Ferner schließen derartige lineare Ansätze das Überschreiten der logischen Obergrenze der (“echten”) Staatsquote von 100% nicht prinzipiell aus, während dies bei nichtlinearer Modellierung der Fall ist und somit aus theoretischer Sicht für längerfristige Analysen letztere eindeutig zu präferieren sind.Google Scholar
  14. 16.
    Vgl. Fußnote 11 in Gliederungspunkt 111.1. zur Berechnung der mit ersten Bifurkationen verbundenen Werte des Kontrollparameters bzw. des Nichtlinearitätsfaktors. Für den hier geschätzten Wert des Kontrollparameters a von 1,066 treten die ersten Bifurkationen bei einem Nichtlinearitätsfaktor von ca. 32 auf.Google Scholar
  15. 21.
    Vgl. Schneeweiß, H. (1971), S. 178; Rinne, H. (1976), S. 88 f. u. 129 sowie Johnson, J. (1986), S. 309 f.Google Scholar
  16. 22.
    Bei Verwendung von Querschnittsdaten muß grundsätzlich mit Heteroskedastizität gerechnet werden, da mit steigendem Einkommensniveau der betrachteten Volkswirtschaften auch eine steigende Varianz der Staatsquoten zu erwarten ist; vgl. Schneeweiß, H. (1971), S. 178 und Rinne, H. (1976), S. 84 ff. u. S. 129. teilungs-Annahme ist, während die beiden anderen Tests diesbezüglich empfindlicher sind; vgl. SPSS Inc. (1988b), B-157 f., B-116 ff. sowie SPSS Inc. (1989), S. B-22 f. Für die Aussagefähigkeit mancher Tests ist es erforderlich, daß die betrachteten Variablen normalverteilt sind. Entsprechende Untersuchungen wurden mittels des SHAPIRO-WiLKS-Tests und eines von LILLIEFORS modifizierten KOLMOGOROV-SMIRNOV-Tests durchgeführt und liefern keine bzw. vernachlässigbare Hinweise auf gravierende Verletzungen der Normalverteilungs-Annahme für die latente Variable im Schätzansatz. Zu den Tests vgl. SPSS Inc. (1989), S. B-24 f.Google Scholar
  17. 28.
    Insbesondere bei der Unterteilung des gesamten Stützbereiches in vier bzw. fünf (längerer Stützbereich) Teilbereiche sinkt die Zahl der zur Neuschätzung verfügbaren Stützstellen auf bis zu 10, wodurch die Qualität dieser Schätzergebnisse mit äußerster Vorsicht zu betrachten ist und die Ergebnisse auch nur zur Modellevaluierung und keineswegs für Prognosezwecke herangezogen werden dürfen.Google Scholar
  18. 29.
    Wenn in den für die Parameter-Schätzwerte berechneten asymptotischen 95%-Konfidenzintervallen (“large sample-Approximation”) für den Parameter a Werte kleiner bzw. gleich 1 bzw. für die Parameter b und c ein Vorzeichenwechsel enthalten ist, wird - wie bereits erwähnt - von kritischen Werten innerhalb der Konfidenzintervalle gesprochen. Nimmt der Parameter a Werte kleiner bzw. gleich 1 an, so resultiert ein Schrumpfungsprozeß bis zu einer Staatsquote von null, und sofern ein Vorzeichenwechsel der Parameter b und c nicht ausgeschlossen werden kann, muß mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit davon ausgegangen werden, daß von den mit diesen Parametern verbundenen Variablen kein (signifikanter) Einfluß auf die Staatsquote ausgeht. Zur Interpretation der Konfidenzintervalle vgl. Rinne, H. (1976), S. 58: Im Durchschnitt einer großen Stichprobe (bei der für jede Ziehung ein Intervall berechnet wird) liegen (1 - CY) • 100% der Intervalle so, daß sie den wahren Parameterwert überdecken. Dies besagt jedoch nicht, daß man eine Sicherheit von (1 - CY) hat, daß der wahre Wert innerhalb des Konfidenzintervalls liegt.Google Scholar
  19. 30.
    Vgl. Rinne, H. (1976), S. 52.Google Scholar
  20. 35.
    Hierbei handelt es sich um den Grenzwert der Staatsquote, der - sofern in der Schätzgleichung die Wachstumsrate des BSP als Variable enthalten ist - bei einem Nullwachstum des BSP langfristig erreicht wird. Die gleichgewichtige Staatsquote reduziert sich für jeden Prozentpunkt des BSP-Wachstums um ca. 1,5 Prozentpunkte.Google Scholar
  21. 36.
    Hierbei handelt es sich um den Grenzwert der Staatsquote, der - sofern in der Schätzgleichung die Wachstumsrate des BSP als Variable enthalten ist - bei einem Nullwachstum des BSP langfristig erreicht wird. Die gleichgewichtige Staatsquote reduziert sich für jeden Prozentpunkt des BSP-Wachstums um ca. 1,5 Prozentpunkte.Google Scholar
  22. 41.
    Eine Ausnahme stellt hier der Rückgang der Staatsquote im Jahr 1955 dar, der in der Prognose Wenngleich in Tabelle 2 die entsprechenden Zeitreihen sowohl für die Funktion mit konstantem als auch für die Funktion mit von der BSP-Wachstumsrate abhängigem Nichtlinearitätsfaktor zur Information aufgeführt sind, beziehen sich die weiteren Ausführungen - aus dem eingangs von Gliederungspunkt 111.4 erwähnten Grund - ausschließlich auf die Funktion mit einem von der BSPWachstumsrate abhängigen Nichtlinearitätsfaktor.Google Scholar
  23. 50.
    Im Durchschnitt beläuft sich der “empirische” Wert des Kontrollparameters auf 1,064 und ist somit etwas niedriger als der Schätzwert des Kontrollparameters, der bei 1,066 (vgl. Tab. 1) liegt. Diese Abweichung ist jedoch nicht auf einen Trend in der “empirischen” Zeitreihe des Kontrollparameters zurückzuführen, sondern beruht zum einen auf der Verzerrung infolge der Verwendung von Schätzwerten für das Jahr 1950 und zum anderen auf stochastischen Einflüssen infolge der willkürlichen Wahl des Basisjahres 1950.Google Scholar
  24. 54.
    Von den durch die Interpolation bedingten systematischen Abweichungen wird hier abstrahiert; vgl. hierzu auch Fußnote 53.Google Scholar
  25. 55.
    Allerdings sind diese Aussagen vorsichtig zu bewerten, da für die Jahre 1974/75 der Nichtlinearitätsfaktor - infolge der bereits erwähnten Unmöglichkeit, für negative Werte den natürlichen Logarithmus zu bilden - nicht direkt, sondern nur approximativ mittels linearer Interpolation bestimmt werden konnte.Google Scholar
  26. 56.
    Im Jahr 1974, der Periode mit der auffälligsten Unterschätzung, liegt praktisch ein Nullwachstum des BSP vor (W197 = 0,1%). In Abb. 37 wurde für dieses Jahr nicht der berechnete Wert von ct (-1354,43), sondern ein Wert von -200 angesetzt, da bei Verwendung des tatsächlichen Wertes sämtliche anderen Abweichungen zwischen Schätzwert und empirischem Wert aufgrund des zu großen Achsenintervalls graphisch nicht mehr nachvollziehbar wären, wodurch allerdings der Wert im Jahr 1974 graphisch unterschätzt wird.Google Scholar
  27. 57.
    Die Staatsquote ist 1958 (im Vergleich zum Vorjahr) um 2 Prozentpunkte, 1975 um 4,4 Prozentpunkte sowie 1981 bzw. 1982, nach einigen Jahren mit weitgehend konstanter Staatsquote, erneut um 1,0 bzw. um weitere 0,2 Prozentpunkte auf den historischen Höchststand (im Beobachtungszeitraum) von 49,8% angestiegen. Gleichzeitig wurden in diesen Jahren jeweils lokale Minima bezüglich der BSP-Wachstumsraten realisiert (1958: 4,1% mit einem Rückgang von 1,8 Prozentpunkten gegenüber dem Vorjahr; 1975: -1,3% (-1,4 Prozentpunkte); 1981 bzw. 1982: 0,1% bzw. - 1,1% (-0,9 bzw. -1,2 Prozentpunkte).Google Scholar
  28. 58.
    Die fehlende Antizipation kann dabei sowohl auf falsche Erwartungen bei den privaten und politischen Entscheidungsträgern als auch auf bewußte Einflußnahme der Regierung auf die Erwartungsbildung im privaten Sektor im Sinne einer systematischen Täuschung (beispielsweise Zweckoptimismus der Regierung aus politökonomischen Gründen: ‘Talsohle einer rezessiven Phase sei bereits erreicht bzw. durchschritten“) zurückgehen.Google Scholar

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© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1995

Authors and Affiliations

  • Klaus Müller

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