Innere-Punkt- und Ellipsoid-Methoden

Im vorliegenden Kapitel werden sogenannte Innere-Punkt- und Ellipsoid-Verfahren zur Lösung von Minimierungsproblemen der Form wobei die Zielfunktion f : ℝ ⁿ → ℝ konvex sei, betrachtet. Wichtige Spezialfälle von (1) sind quadratische und lineare Optimierungsprobleme. Insbesondere für letztere werden die Ellipsoid-Methode von Khachian [Kha79] und die projektive Methode von Karmarkar [Kar84] untersucht. Diese Methoden haben als polynomiale Lösungsverfahren weite Beachtung in Theorie und Praxis erfahren. Für nichtlineare Zielfunktionen wird der Begriff des endlichen Verfahrens über das Erreichen einer ε-Genauigkeit verallgemeinert. Während in den Simplexverfahren zur Lösung von (1) wesentlich die Randstruktur des polyedrischen Bereiches aus den Nebenbedingungen ausgenutzt wird, konstruiert man in den Innere-Punkt-Verfahren eine Folge von inneren oder relativ inneren Punkten, die gegen eine Lösung des Problems konvergieren. In den Ellipsoid-Methoden wird durch ständig verbesserte Einschließungen mit Ellipsoiden eine Lösung durch äußere Punkte approximiert. In der historischen Reihenfolge der in diesem Abschnitt betrachteten Methoden steht die Ellipsoid-Methode am Anfang. Mit ihrer Hilfe wurde 1979 erstmals die Polynomialität des Problems Lineare Optimierung gezeigt. Die folgende Darstellung beginnt jedoch mit dem allgemeinen Prinzip der Inneren-Punkt-Methoden. Die Behandlung allgemeiner linearer Optimierungsaufgaben erfolgt in Abschnitt 8.4.