Cauchy und das Kontinuum: Die Bedeutung der heterodoxen Analysis für die Geschichte und die Philosophie der Mathematik

Die verderbliche Wirkung falscher Philosophien auf die historische Darstellung der Mathematik wird bei Lakatos [1963/64] behandelt, vor allem in der ‚Einleitung des Verfassers‘ und sodann passim. (Zur Wirkung falscher Wissenschaftstheorien auf die historische Darstellung der empirischen Wissenschaft siehe Agassi [1963] sowie insbesondere Band1, Kap. 2.)Google Scholar

Vielleicht sollte ich hier erwähnen, daß ich mich mit diesen Problemen zuerst 1957/58 beschäftigte und sie einigermaßen ausführlich in meiner Doktorarbeit ‘Essay in the Logic of Mathematical Discovery von 1961 behandelt habe. Ich veröffentlichte aber meine Ergebnisse nicht, weil ich das Gefühl hatte, daß an der Behandlung irgendetwas nicht in Ordnung sei. Nach der Lektüre von Robinson erkannte ich meinen Fehler: Ich hatte Cauchy als einen unmittelbaren Vorläufer von Weierstraß mißverstanden. *) Dieses Material ist jetzt als Anhang 1 zu Lakatos [1976c] veröffentlicht. (D. Hrsgg.)Google Scholar

Boyer [ 1949 ], S. 273. Aus dem Zusammenhang geht hervor, daß Boyer hier eine Weierstraßsche reelle Variable meint.Google Scholar

Cajori [ 1924 ], S.369, geht noch weiter: ‘Mit Cauchy beginnt die ‘Arithmetisierung’.’ *’) Cauchy [1821], S.131: ‘Lorsque les différents termes de la série uo, u1, u2…, u,,, u„+1,… sont des fonctions d’une même variable x, continues par rapport à cette variable, dans le voisinage d’une valeur particulière pour laquelle la série est convergente, la somme de la série est aussi, dans le voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de x.’ (J.P.C.)Google Scholar

Nach Bourbaki [ 1960 ], S. 219, gilt: `Leider behauptete Cauchy, mehr bewiesen zu haben [als er wirklich bewiesen hatte].’ Doch wenn man von Cauchys `bedauerlichem Irrtum’ spricht, so erklärt das nichts, wenn es auch besser ist als das Verdecken der `Irrtümer’ des großen Mathematikers, wie es einige Historiker üben — und er hatte sich ja auch noch (in der Einleitung zu Cauchy [1821]) gerühmt, er würde alle Ungewißheit beseitigen’.Google Scholar

Robinson [ 1976 ], S. 272. Meine Rekonstruktion wird sich von der Robinsonschen etwas unterscheiden.Google Scholar

Pringsheims maßgebliche Darstellung der Geschichte der Infinitesimalrechnung in Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften (Teubner, Leipzig, Bd. 2, 2.1, S. 17) schreibt den Weierstraßschen Begriff der Stetigkeit Cauchy zu. Bell [ 1940 ], S. 292, schließt sich an: `Die Definitionen des Grenzwerts und der Stetigkeit, wie sie heute in durcndacht geschriebenen Texten üblich sind, wurden im wesentlichen von Cauchy entwickelt und angewandt.’Google Scholar

Ein typisches Fehlurteil findet sich bei Bell [ 1940 ], S.292: `Die Schwierigkeiten des widerspruchsfreien Denkens über das Unendliche und das Kontinuum zeigen sich etwa daran, daß auch ein so vorsichtiger Geist wie Cauchy in die Irre ging, als er sich der Intuition überließ.’ Diese Bemerkung ist, abgesehen von der völlig falschen Beurteilung, auch ein gutes Beispiel für die Gefahren bei der Verwendung des Begriffs der `Intuition’.Google Scholar

Pringsheim [ 1916 ], S.34. *) Wenn die Fassung im Rahmen der heterodoxen Analysis (s. o., Anm. 32) Bolzano arbeitete an dieser Analyse (`Theorie der Größen’) in den Jahren 1830–1835, schloß sie aber nie ab. Teile des Manuskripts wurden kürzlich unter dem irreführenden Titel `Theorie der reellen Zahlen’ veröffentlicht (Rychlik [1962]).Google Scholar

In den Bemerkungen des Herausgebers zu Dirichlet [1829] und Seidel [1847] in der Ausgabe ‘Ostwalds Klassiker’, S. 51.Google Scholar

Nach Felix Klein ist die Aussage “[e] wird unendlich klein’ seit Cauchy… nur eine bequeme Ausdrucksweise dafür, daß [die Größe] unbegrenzt gegen Null abnimmt’ (Klein [1908], 3.3.1, S. 479). Das ist natürlich ein weiteres Beispiel einer Rückprojektion von Weierstraß auf Cauchy.Google Scholar

Baumann [1869], Bd. 2, S. 55. Diese Abgrenzung ist erstaunlich weithin anerkannt. Russell zum Beispiel hält sie für selbstverständlich: `Die Deutung der Infinitesimalrechnung war fast zweihundert Jahre lang eine Streitfrage für die Mathematiker und die Philosophen; nach Leibnizens Auffassung arbeitete die Infinitesimalrechnung mit aktual unendlich kleinen Größen, und erst durch Weierstraß wurde diese Auffassung endgültig widerlegt. Ein noch grundlegenderes Beispiel: über die elementare Arithmetik hat es nie Meinungsverschiedenheiten gegeben, und doch ist die Definition der natürlichen Zahl heute noch umstritten.’ (Russell [1948], S.362.) Russell hält also die Infinitesimalrechnung für ebensowenig theoriedurchtränkt wie die elementare Arithmetik!Google Scholar