Feldtheorie auf dem Gitter

Für ein neutrales Skalarfeld sei die euklidische Wirkung durch gegeben. Eine Weise, zu wohldefinierten Ausdrücken für die n-Punktfunktionen zu gelangen, besteht darin, daß man den Raum E₄ durch ein Gitter (ℤ _N )⁴ der Periode N ersetzt. Hierbei haben wir die Gitterkonstante (der Abstand zweier benachbarter Punkte im Gitter) gleich 1 gesetzt. Die Einführung einer dimensionsbehafteten Gitterkonstanten a läßt sich, falls gewünscht, durch eine Skalentransformation erreichen. Mit ℤ _N = ℤ/(Nℤ) bezeichnet man üblicherweise die Restklassengruppe, die entsteht, wenn man die ganzen Zahlen modulo N betrachtet. Sie enthält genau N Elemente, die man sich durch die Zahlen 0,1,..., N − 1 repräsentiert denkt. In unserem Fall ist das Gitter periodisch mit der gleichen Periode N in allen vier Richtungen des Raumes (wir hätten auch vier verschiedene Perioden wählen können). Ein solches Gitter läßt sich nicht in den E₄, sondern nur in den vierdimensionalen Torus Tor₄ = (ℝ mod1)⁴ einbetten. Man spricht deshalb von einem toroidalen Gitter. Der Grund, warum man ein allseitig periodisches Gitter wählt, ist bekanntlich seine Symmetrie unter diskreten Translationen. Auf diese Weise rettet man einen Teil der euklidischen Bewegungsgruppe des E₄.