Die Optionsbewertungstheorie als Ausgangspunkt

  • Carl Heinz Daube
Chapter
Part of the Schriftenreihe des Instituts für Geld- und Kapitalverkehr der Universität Hamburg book series (SGKH, volume 6)

Zusammenfassung

Die Literatur zur Optionsbewertungstheorie hat inzwischen wegen der Vielzahl der damit verbundenen Spezialfragen und Anwendungsmöglichkeiten einen kaum noch überschaubaren Umfang angenommen.1) In der vorliegenden Arbeit ist die Bewertung von Aktienoptionen von besonderer Bedeutung. Zunächst werden Determinanten des Optionswertes vorgestellt, anschließend wird das für die weiteren Untersuchungen verwendete Bewertungsmodell erläutert.

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Literatur

  1. 1).
    Die Literatur soll hier nicht aufgearbeitet werden. Es sei an dieser Stelle auf einige grundlegende Aufsätze und Standardwerke verwiesen: F. Black u. M. Scholes (1973), R.C. Merton (1973), J.C. Cox et al. (1979); R.A. Jarrow u. A. Rudd (1983), J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), P. Ritchken (1987), D.M. Chance (1991). Hingewiesen sei auch auf die Überblicksartikel von C.W. Smith (1976) und R. Geske u. S. Trautmann (1986).Google Scholar
  2. 1).
    Am Verfalltag ist der Wert einer Kaufoption MAX[O, KK-BP], der Wert einer Verkaufsoption MAX[O, BP-KK]; R.A. Jarrow u. A. Rudd (1983), S. 13.Google Scholar
  3. 2).
    Siehe z.B. J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 33 f.; M.D. Fitzgerald (1987), S. 33–35; J. Hull (1989), S. 108.Google Scholar
  4. 3).
    J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 37.Google Scholar
  5. 1).
    J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 38.Google Scholar
  6. 2).
    Auf detaillierte Arbitragebeweise zu den einzelnen Determinanten und den sich daraus ergebenden Vertgrenzen wird in dieser Arbeit verzichtet. Siehe dazu z.B. die ausführlichen Darstellungen bei J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 127–163; P. Ritchken (1987), S. 70–90; L. Jurgeit (1989), S. 52–89; D.M. Chance (1991), S. 67–101.Google Scholar
  7. 3).
    J. Hull (1989), S. 108. Inhaber von Long-Positionen in Kaufoptionen profitieren (verlieren) bei einem Anstieg (Rückgang) des Aktienkurses, für Inhaber von Short-Positionen ist es umgekehrt. Inhaber von Long-Positionen in Verkaufsoptionen verlieren (profitieren) bei einem Anstieg (Rückgang) des Aktienkurses, für Inhaber von Short-Positionen ist es umgekehrt.Google Scholar
  8. 4).
    Vor dem Verfalltag ist eine Kaufoption — amerikanisch oder europäisch — nie weniger wert als MAX[O, KK-Bpe-r*t]. Vor dem Verfalltag ist eine amerikanische Verkaufsoption nie weniger Wert als MAX[O, BP-KK], eine europäische Verkaufsoption nie weniger wert als MAX[O, Bpe-r*t-KK]; L. Jurgeit (1989), S. 58 f., 72 u. 74.Google Scholar
  9. 1).
    J. Hull (1989), S. 108. Inhaber von Long-Positionen in Optionen profitieren (verlieren) tendenziell bei einer Verlängerung (Verkürzung) der Restlaufzeit, für Inhaber von Short-Positionen ist es umgekehrt.Google Scholar
  10. 2).
    J. Hull (1989), S. 108. Diese Aussage gilt nur für amerikanische und europäische Kaufoptionen und für amerikanische Verkaufsoptionen. Bei europäischen Verkaufsoptionen sind zwei gegenläufige Effekte zu beachten, die eine Aussage über einen eindeutigen Virkungszusammenhang nicht zulassen. Einerseits wird bei längeren Restlaufzeiten der Basispreis stärker diskontiert, was den Optionswert senkt. Andererseits kann innerhalb der längeren Restlaufzeit der Aktienkurs sinken, was den Optionswert erhöhen würde; L. Jurgeit (1989), S. 158 f.Google Scholar
  11. 3).
    Die Auswirkung einer Volatilitätsänderung auf den theoretischen Optionswert wird auch als “Volatilitätseffekt” bezeichnet; S. Natenberg (1988), S. 173.Google Scholar
  12. 1).
    R.A. Haugen (1986), S. 362 f.; J. Hull (1989), S. 109.Google Scholar
  13. 3).
    Anzumerken ist an dieser Stelle, daß der Einfluß von Zinssatzänderungen auf den theoretischen Wert von börs-lichen Aktienoptionen recht gering ist; S. Natenberg (1988), S. 135; H. Zimmermann (1988), S. 191.Google Scholar
  14. 4).
    J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 35. Eine Erhöhung des Zinssatzes wirkt wie eine Senkung des Basispreises; P. Ritchken (1987), S. 27.Google Scholar
  15. 5).
    J. Hull (1989), S. 109.Google Scholar
  16. 1).
    J. Hull (1989), S. 109. Inhaber von Long-Positionen in Kaufoptionen profitieren (verlieren) bei einem Anstieg (Rückgang) des Zinssatzes, für Inhaber von Short-Positionen ist es umgekehrt. Inhaber von Long-Positionen in Verkaufsoptionen verlieren (profitieren) bei einem Anstieg (Rückgang) des Zinssatzes, für Inhaber von Short-Positionen ist es umgekehrt.Google Scholar
  17. 2).
    J. Hull (1989), S. 109. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, daß die vorzeitige Ausübung von Optionen im Falle von Dividenden in bestimmten Situationen vorteilhaft sein kann; siehe dazu z.B. J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 236–252; A.L.M. Smith (1986), S. 132–144; J. Hull (1989), S. 123–128.Google Scholar
  18. 4).
    H. Uhlir u. F. Sièvi (1990a), S. 90.Google Scholar
  19. 1).
    Eine Systematik von speziellen Optionsbewertungsmodellen findet sich z.B. bei L. Jurgeit (1990), S. 119. Erwähnt sei hier nur, daß sich die Modelle in solche ohne und mit Risikopräferenzen unterscheiden lassen. Die erste Gruppe kann wiederum in zeitdiskrete und zeitkontinuierliche Modelle aufgeteilt werden.Google Scholar
  20. 1).
    F. Black u. M. Scholes (1973). Einen “historischer Abriß” über die Entstehung des Modells liefert F. Black (1989a).Google Scholar
  21. 2).
    C.W. Smith (1976), S. 4; S. Natenberg (1988), S. 51 f.; H. Uhlir u. F. Sièvi (1990a), S. 85; W. Bühler (1991), S. 2.Google Scholar
  22. 3).
    Zu den Annahmen des vollkommenen Marktes siehe z.B. C.W. Haley u. L.D. Schall (1979), S. 280.Google Scholar
  23. 4).
    Vgl. F. Black u. M. Scholes (1973), S. 641. Auch Merton hebt hervor, daß im B-S-Modell der Optionswert nicht von Renditeerwartungen und Risikopräferenzen abhängt; siehe R.C. Merton (1973), S. 161 f.Google Scholar
  24. 6).
    F. Black u. M. Scholes (1973), S. 641.Google Scholar
  25. 1).
    F. Black u. M. Scholes (1973), S. 640. Die z.T. realitätsfernen Annahmen sollen hier nicht im einzelnen diskutiert werden. Eine Diskussion der Annahmen und Möglichkeiten, das B-S-Modell zu modifizieren, findet man z.B. bei R.M. Bookstaber (1981), S. 88–93; J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 268–287;Google Scholar
  26. 1a).
    F. Black (1989b), S. 79–83. Nur auf die Verteilungsannahme der Aktienkurse, die Konstanz der Volatilität und Möglichkeiten zur Volatilitätsschätzung wird innerhalb dieses Abschnitts noch eingegangen; siehe S. 190–192, 196–198.Google Scholar
  27. 2).
    Black und Scholes haben ihre Formel über einen Hedge-An-satz aus einer komplexen Differentialgleichung hergeleitet; vgl. F. Black u. M. Scholes (1973), S. 641–644. Die Herleitung weist aber Inkonsistenzen auf. Konsistent kann die B-S-Formel über einen Duplikationsansatz, der auch den sog. Binomialmodellen zugrunde liegt, hergeleitet werden. Siehe dazu L. Jurgeit (1989), S. 440–459, und die dort angegebene Literatur.Google Scholar
  28. 1).
    F. Black u. M. Scholes (1973), S. 647.Google Scholar
  29. 1).
    So sind z.B. Aktienoptionen an der DTB vom amerikanischen Typ; Ziffer 2.2.1.9 DTB-HandelsB.Google Scholar
  30. 2).
    Black selbst schreibt: “The actual prices on listed options tend to differ in certain systematic ways from the values given by the formula.”; F. Black (1975), S. 64.Google Scholar
  31. 3).
    Einen Oberblick über Methoden und Ergebnisse einer Reihe von empirischen Untersuchungen zu Optionsbewertungsmodel-len findet man bei R. Geske u. S. Trautmann (1986), S. 97–121.Google Scholar
  32. 5).
    F. Black (1975).Google Scholar
  33. 1).
    J.D. MacBeth u. L.J. Merville (1979). MacBeth und Merville untersuchten Kurse von CBOE-Kaufop-tionen für den Zeitraum Dezember 1975 bis Dezember 1976. Sie kamen außerdem zu dem Ergebnis, daß das Ausmaß, in dem das B-S-Modell Optionen im (aus dem) Geld zu niedrig (hoch) bewertet, zunimmt, je tiefer (weiter) eine Option ins (aus dem) Geld kommt und abnimmt, je kürzer die Restlaufzeit ist; ebda., S. 1185.Google Scholar
  34. 2).
    F. Black u. M. Scholes (1972), D. Galai (1977), M. Bhattacharya (1983). Black und Scholes untersuchten Kurse von OTC-Kaufoptionen für den Zeitraum 1966 bis 1969. Galai replizierte und erweiterte die Untersuchung von Black und Scholes mit Kursen von CBOE-Kaufoptionen für den Zeitraum April 1973 bis November 1973. Bhattacharya untersuchte CBOE-Kaufoptionen für den Zeitraum August 1976 bis Juni 1977.Google Scholar
  35. 3).
    Tendenziell hatten Optionen im Geld mit kurzer Restlaufzeit größere implizite Volatilitäten als Optionen mit gleichen Basispreisen aber langer Restlaufzeit. Optionen aus dem Geld mit kurzer Restlaufzeit hatten tendenziell kleinere implizite Volatilitäten als Optionen mit gleichem Basispreis aber langer Restlaufzeit; J.D. MacBeth u. L.J. Merville (1979), S. 1175. Angemerkt sei hier, daß die Beobachtung unterschiedlicher impliziter Volatilitäten bemerkenswert ist, weil man für eine Aktie zumindest über gleiche Zeiträume theoretisch keine unterschiedlichen Volatilitäten erwarten würde; vgl. dazu S. Figlewski (1989), S. 13.Google Scholar
  36. 1).
    F. Black u. M. Scholes (1972), S. 408; R.C. Merton (1976b), S. 345.Google Scholar
  37. 2).
    M. Bhattacharya (1980). Bhattacharya untersuchte 1980 in erster Linie die mathematische Struktur der B-S-Formel. Er kam zu dem Ergebnis, daß mit längerer Restlaufzeit die Fehlbewertungen kleiner wurden. Das gleiche ergab sich, wenn eine Option weiter aus dem Geld oder tiefer ins Geld kam; ebda., S. 1095.Google Scholar
  38. 3).
    S. Trautmann (1989), S. 224.Google Scholar
  39. 4).
    Einen Oberblick über Optionsbewertungsmodelle mit alternativen Annahmen zum Aktienkursverlauf und zur Volatilität findet man bei R. Geske u. S. Trautmann (1986), S. 89–93.Google Scholar
  40. 5).
    Solch ein kombinierter Verlauf wird auch als “mixed diffusion-jump process” bezeichnet. Merton begründet das Auftreten solch eines kombinierten Kursverlaufs mit der unterschiedlichen Qualität von Informationen. Das Eintreffen von Informationen, die nicht von besonderer Bedeutung sind, führt nur zu marginalen Aktienkursänderungen. Solche Kursänderungen bezeichnet er als “normal”, sie können durch den stetigen Verlauf erklärt werden. Dagegen führt das Eintreffen von Informationen, die von besonderer Bedeutung sind, zu starken Aktienkursänderungen. Solche Kursänderungen bezeichnet er als “anomal”, sie können durch die Sprungkomponente erklärt werden; R.C. Merton (1976a), S. 127.Google Scholar
  41. 1).
    Zu diesem Ergebnis kamen z.B. V. Akgiray u. G. Booth (1986) für amerikanische Aktien. V. Akgiray et al. (1989) kamen zu ähnlichen Ergebnissen für deutsche Aktien. Abweichungen wurden mit der unterschiedlichen Informationspolitik amerikanischer und deutscher Aktiengesellschaften begründet; ebda., S. 31. Auch wenn der kombinierte Kursverlauf die Realität besser abbildet, beinhaltet er doch praktische Probleme. Z.B. muß die Sprungkomponente spezifiziert werden. Dazu wird oft ein Poissonprozeß verwendet. Unterschiedlich sind die Ansichten darüber, ob die Sprungkomponente unsystematisches Risiko darstellt und somit diversifizierbar ist -z.B. R.C. Merton (1976a), S. 137, — oder ob sie systematisches Risiko darstellt und somit nicht diversifizierbar ist — z.B. V. Akgiray u. G. Booth (1986), S. 178 f. Da eine möglichst realitätsnahe Beschreibung des Aktienkursverlaufs und seine Verteilung für eine Anzahl finanztheoretischer Fragen — besonders für die Optionsbewer-tungstheorie — von Bedeutung ist, wird in diesem Bereich z.Zt. auch in Deutschland intensiv geforscht; siehe z.B. W. Krämer u. R. Runde (1990), M. Beinert u. S. Trautmann (1991) und die dort jeweils angegebene Literatur.Google Scholar
  42. 1).
    R.C. Merton (1976a) und (1976b). Merton stellt in seiner Arbeit (1976a) ein Optionsbewer-tungsmodell vor, das Kurssprünge — beschrieben durch einen Poissonprozeß — berücksichtigt. Allein durch die Möglichkeit eines Kurssprunges sind Optionen mit Sprungkomponente mehr wert als ohne; R.C. Merton (1976a), S. 138–140. In einer Simulation stellte Merton fest, daß bei kurzen Restlaufzeiten oder niedrigen Volatilitäten besonders große Abweichungen zwischen den Modellwerten auftraten; R.C. Merton (1976b), S. 345.Google Scholar
  43. 2).
    J.D. MacBeth u. L.J. Merville (1980). MacBeth und Merville verglichen Marktpreise von CBOE-Kaufoptionen mit B-S-Modellwerten und mit Werten nach einem Modell von J.C. Cox u. S.A. Ross (1976) — Cox und Ross verwenden zur Berücksichtigung von Aktienkurssprüngen einen Kursverlauf aus der Klasse der sog. “constant elasticity of variance”-Prozesse — für den Zeitraum von Dezember 1975 bis Dezember 1976. Es handelt sich dabei um eine Erweiterung ihrer Untersuchung von 1979. MacBeth und Merville fanden heraus, daß für den Untersuchungszeitraum das Cox-Ross-Modell deutlich marktnäher bewertete als das B-S-Modell. Im Cox-Ross-Modell müssen aber mehr Parameter geschätzt werden als im B-S-Modell. Manaster stellt dazu die berechtigten Fragen, wie diese Parameter praktikabel geschätzt werden können, und ob die relativ besseren Ergebnisse den Mehraufwand tatsächlich rechtfertigen; S. Manaster (1980), S. 30.Google Scholar
  44. 3).
    C.A. Ball u. W.N. Torous (1985). Ball und Torous verglichen Werte nach dem B-S-Modell mit Werten nach dem Merton-Modell [R.C. Merton (1976a)], das Kurssprünge berücksichtigt und wesentlich komplizierter ist. Sie konnten keine für den praktischen Einsatz signifikanten Abweichungen finden. Ball und Torous betonen allerdings, daß ein Investor, der Kurssprünge völlig außer acht läßt, zu erheblichen Fehlbewertungen kommen kann; ebda., S. 169. Meisner und Labuszewski verglichen Werte nach dem B-S-Modell mit Werten nach dem Binomialmodell von J.C. Cox et al. (1979) und kamen zu dem Ergebnis, daß es die größten Abweichungen bei Optionen im Geld gibt. Ansonsten waren die Abweichungen eher gering. Sie betrachteten auch das Options-Delta: Außer bei Optionen tief im Geld kam es bei Delta kaum zu Abweichungen; J.F. Meisner u. J.W. Labuszewski (1987).Google Scholar
  45. 1).
    S. Trautmann (1989), S. 220.Google Scholar
  46. 2).
    A.L.M. Smith (1986), S. 160. Ähnlich gute Ergebnisse liefert das Binomialmodell, das aber im Vergleich zum B-S-Modell für die hier vorliegende Problemstellung schwieriger zu handhaben ist. In diesem Zusammenhang erscheint nachstehende Aussage des London Clearing House (LCH) über die genannten Modelle erwähnenswert. In einem Memorandum heißt es “… the fact is that they have been accepted by traders to the extent that they are largely self-fulfilling prophecies… there is no replacement on the horizon (though large sums of money are being spent in the attempt to find one).”; LCH (o.J.), S. 1.Google Scholar
  47. 1).
    Bereits Merton hat gezeigt, daß das Recht der vorzeitigen Ausübung in bestimmten Fällen keinen Wert hat. Es kann dann keine Wertunterschiede zwischen europäischen und amerikanischen Kaufoptionen geben; R.C. Merton (1973), S. 144 f. Ein rational handelnder Investor wird z.B. eine amerikanische Kaufoption ohne Berücksichtigung von Dividenden nicht vorzeitig ausüben. Durch die vorzeitige Ausübung würde er nämlich einen durch die Höhe des Zinssatzes auf risikofreie Anlagen bestimmten Zinsverlust auf den Basispreis zwischen Ausübungstag und Verfalltag erleiden;Google Scholar
  48. 1a).
    P. Ritchken (1987), S. 77. Fallen während der Laufzeit Dividenden an, kann es sinnvoll sein, die amerikanische Kaufoption vorzeitig auszuüben, nämlich dann, wenn die Dividende den Zinsverlust kompensiert; R.A. Haugen (1987), S. 334;Google Scholar
  49. 1b).
    H. Uhlir u. P. Steiner (1991), S. 220. An dieser Stelle sei auf die Probleme der Bewertung von amerikanischen Kaufoptionen unter Berücksichtigung von Dividenden hingewiesen.Google Scholar
  50. 1c).
    Siehe dazu z.B. R. Roll (1977), der eine amerikanische Kaufoption mit bekannter Dividende als Portefeuille aus drei europäischen Kaufoptionen interpretiert;Google Scholar
  51. 1d).
    R. Geske (1979), dereine Vereinfachung des Ansatzes von Roll präsentiert;Google Scholar
  52. 1e).
    R.E. Whaley (1982), der die Ansätze von Roll und Geske modifiziert und empirische Tests für an der CBOE gehandelte Optionen durchführt.Google Scholar
  53. 2).
    Siehe dazu z.B. P. Ritchken (1987), S. 80 f.; J. Hull (1989), S. 112–115; L. Jurgeit (1989), S. 71–76. In diesem Zusammenhang darf nicht übersehen werden, daß die Bewertung von amerikanischen Verkaufsoptionen schwieriger ist als die von Kaufoptionen, da noch kein geschlossenes zeitkontinuierliches Bewertungsmodell vorliegt;Google Scholar
  54. 2a).
    L. Jurgeit (1989), S. 163. Eine Diskussion möglicher analytischer Verfahren zur Bewertung amerikanischer Verkaufsoptionen führt z.B. J. Hull (1989), S. 214–245. Zu dieser Problematik siehe auch G. Barone-Adesi u. R.E. Whaley (1987) und die dort angegebene Literatur. Die exakte Bewertung mit und ohne Berücksichtigung von Dividenden ist bisher nur mit zeitdiskreten Modellen wie dem Binomialmodell möglich; J.C. Cox et al. (1979), S. 258–261; J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 245–252.Google Scholar
  55. 2b).
    H. Uhlir u. F. Sièvi (1990b), S. 398. An dieser Stelle sei auf eine Untersuchung von Bauer hingewiesen. Bauer untersuchte u.a. die Stabilität der Volatilität marktgängiger deutscher Aktien von 1967 bis 1986. Er verglich über diesen Zeitraum auch unterschiedliche Verfahren zur Volatilitätsschätzung und ihre Genauigkeit der Prognose;Google Scholar
  56. 2c).
    siehe C. Bauer (1992), insbesondere S. 7–10, 19–22. Für Marketmaker kann es sich als nützlich erweisen, über Schätzverfahren zu verfügen, die ihnen relativ gute Prognosen der künftigen Volatilität liefern.Google Scholar
  57. 3).
    R.A. Jarrow u. A. Rudd (1983), S. 137.Google Scholar
  58. 4).
    S. Natenberg (1988), S. 79–88.Google Scholar
  59. 1).
    Black und Scholes verwenden in ihrer Untersuchung die täglichen Aktienrenditen aus dem Zeitraum ein Jahr vor dem Tag, an dem eine Option geschrieben wurde; siehe F. Black u. M. Scholes (1972), S. 402. Eine mögliche Vorgehensweise, die Volatilität aus vergangenen Kursen zu ermitteln, zeigen anhand eines Beispiels J.C. Cox u. M. Rubinstein (1985), S. 255–260. Wiederholt wurde in Untersuchungen der Frage nachgegangen, welche Kurse — also z.B. Höchst- und Tiefstkurse, Eröff-nungs- und Schlußkurse — aus dem Verlauf einer Börsensitzung zur Ermittlung der historischen Volatilität herangezogen werden sollten; siehe dazu z.B. P.P. Boyle u. A.L. Ananthanarayanan (1977), M.B. Garman u. M.J. Klass (1980), M. Parkinson (1980), S. Beckers (1983).Google Scholar
  60. 2).
    R.A. Haugen (1986), S. 379; P. Ritchken (1987), S. 215. Die B-S-Formel kann nicht nach der Standardabweichung aufgelöst werden. Man muß sich daher zur Ermittlung der impliziten Volatilität eines Iterationsverfahrens bedienen; P. Ritchken (1987), S. 215 f. Auch die implizite Volatilität und Möglichkeiten ihrer Ermittlung waren wiederholt Gegenstand von Untersuchungen; siehe z.B. H.R. Latané u. R.J. Rendleman (1976), D.P. Chiras u. S. Manaster (1978), S. Beckers (1981).Google Scholar
  61. 3).
    S. Natenberg (1988), S. 307–309. Anzumerken ist in diesem Zusammenhang, daß in neueren Arbeiten untersucht wurde, welche Auswirkungen es auf den Optionswert hat, wenn die Volatilitätsänderungen einem bestimmten Prozeß folgen; siehe dazu z.B. M.U. Dothan (1987), J. Hull u. A. White (1987), H. Johnson u. D. Shanno (1987), L.O. Scott (1987), J.B. Wiggens (1987), J. Hull u. A. White (1988), T.J. Finucance (1989), C.B. Barry et al. (1991). Ergänzend sei an dieser Stelle auf einige neuere Arbeiten hingewiesen, die den Zusammenhang zwischen Volatilitäts- und Umsatzänderungen bei Aktien durch Aufnahme des Optionshandels untersuchen; z.B. D.J. Skinner (1989), A. Damodaran u. J. Lim (1991) und besonders C. Schlag (1991) für die DTB.Google Scholar
  62. 1).
    CME (1991a).Google Scholar
  63. 3).
    Siehe S. 183.Google Scholar
  64. 4).
    H. Uhlir u. F. Sièvi (1990b), S. 399.Google Scholar

Copyright information

© Deutscher Universitäts-Verlag GmbH, Wiesbaden 1993

Authors and Affiliations

  • Carl Heinz Daube

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