Klassische Lösungstheorie

In diesem Abschnitt wollen wir Anfangswertprobleme der Gestalt betrachten, wobei u : [0, T] → X die gesuchte Funktion mit dem Anfangswert u₀ ∈ X zur Zeit t₀ ∈ [0, T] und f: [0, T] × X → X eine vorgegebene rechte Seite seien. Dabei sei (X, || · ||) ein Banach-Raum Statt des Intervalls [0, T] könnte auch jedes andere abgeschlossene und beschränkte Zeitintervall betrachtet werden. Es sei betont, dass auch der Fall t₀ = T zugelassen ist. Gleichwohl werden wir, der Einfachheit halber, auch dann von einem Anfangswertproblem sprechen, wenn t₀ ≠ 0. Viele Autoren bezeichnen das Anfangswertproblem für eine gewöhnliche Operator-Differentialgleichung auch als abstraktes Cauchy-Problem.