Über verschiedene Klassen von Unterräumen in Räumen mit nichtkommutativer Verbindung

Zusammenfassung

Inzidenzstrukturen mit eindeutigen Verbindungsgeraden zweier verschiedener Punkte (in [8] partial planes genannt) haben ersichtlich folgende Eigenschaft: Es gibt eine Abbildung ⊔, die je zwei verschiedenen Punkten x und y eindeutig eine Linie x ⊔ y (in diesem Fall die eindeutig bestimmte Gerade, die x und y enthält), die Verbindungslinie dieser Punkte, zuordnet. Inzidenzstrukturen dieser Art nennen wir Verbindungsstrukturen; ist insbesondere jede Linie eindeutig bestimmt durch die Menge der mit ihr inzidenten Punkte, so sprechen wir von Verbindungsräumen. Nicht jeder Verbindungsraum ist ein partial plane; so kommen etwa in [5] und [12] Räume vor, in denen Linien echt in anderen liegen können. In diesen und vielen anderen Arbeiten ist aber die Verbindungsoperation ⊔ kommutativ, d.h. es gilt stets x ⊔ y = y ⊔ x. Verbindungsräume mit nicht notwendig kommutativem ⊔ sind bisher nur wenig untersucht worden (vgl. [1], [2], [3], [4], [6] und [10]). In der vorliegenden Note wollen wir uns vor allem mit Unterräumen solcher nichtkommutiver Räume beschäftigen. Wie wir sehen werden, gibt es mehrere Möglichkeiten, Unterräume auf “natürliche” Weise zu definieren, und es stellt sich die Frage, wie diese verschiedenen Klassen von Unterräumen miteinander zusammenhängen.