Abstract
It was already Riemann who gave fundamental indications to the non-linear differential geometry. At first we outline the different developments of that geometry, which are connected with the names of Finsler, Berwald, E. Cartan, A. Kawaguchi, on the one hand, and of E. Noether (in generalization of Christoffel’s paper), Friesecke, Winternitz, H. Busemann, on the other hand. In the second part we describe the fundamentals of Finsler geometry and areal geometry at the present time. For this we consider two structures in a manifold, a length measurement and a parallel displacement of vectors in the case of Finsler spaces, and an area measurement and a parallel displacement of decomposable p-vectors in the case of areal spaces. In this matter the homogeneous connections in the bundles of Graßmann cones play a particular part generalizing the Christoffel connections of linear differential geometry.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Access this chapter
Tax calculation will be finalised at checkout
Purchases are for personal use only
Preview
Unable to display preview. Download preview PDF.
Literaturverzeichnis
Riemann, B.: Ober die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Abh. Ges. Wiss. Göttingen Math. Kl. 13 (1866/67), 133–152. Abdruck in: Gesammelte Mathematische Werke XIII. Teubner, Leipzig 1876. Als Einzelschrift: Neu herausgegeben und erläutert von H. Weyl. Springer, Berlin 1919.
Christoffel, E.B.: Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades. J. Reine Angew. Math. 70 (1869), 46–70.
Finsler, P.: Über Kurven und Flächen in allgemeinen Räumen. Dissertation, Göttingen 1918. Unveränderter Nachdruck mit ausführlichem Literaturverzeichnis von H. Schubert. Birkhäuser, Basel 1951.
Noether, E.: Invarianten beliebiger Differentialausdrücke. Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. (1918), 37–44.
Friesecke, H.: Vektorübertragung, Richtungsübertragung, Metrik. Math. Ann. 94 (1925), 101–118.
Berwald, L.: Über Parallelübertragung in Räumen mit allgemeiner Maßbestimmung. Jber. Deutsch. Math.-Verein. 34 (1925), 213–220.
Synge, J.L.: A generalization of the Riemannian line-element. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925), 61–67.
Taylor, J.H.: A generalization of Levi -Ci vira ‘s parallelism and the Frenet formulas. Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925), 246–264.
Winternitz, A.: Uber die affine Grundlage der Metrik eines Variationsproblems. Sitzungsber. PreuB. A.ad. Wiss. Phys.-Math. KI. 26 (1930), 457–469.
Bortolotti, E.: Differential invariants of direction and point displacements. Ann. of Math. (2) 32 (1931), 361–377.
Koschmieder, L.: Die neuere formale Variationsrechnung. Jber. Deutsch. Math.-Verein. 40 (1931), 109–132.
Cartan, E.: Les espaces métriques fondés sur la notion d’aire. Hermann, Paris 1933.
Cartan, E.: Les espaces de Finsler. Hermann, Paris 1934.
Berwald, L.: Über Finslersche und verwandte Räume. In: Comptes-Rendus du deuxième congrès des mathématiciens des pays slaves, Praha 1934.
Kawaguchi, A.: Ein metrischer Raum, der eine Verallgemeinerung des Finslerschen Raumes ist. Monatsh. Math. Phys. 43 (1936), 289–297.
Busemann, H.: The isoperimetric problem for Minkowski area. Amer. J. Math. 71 (1949), 743–762.
Busemann, H.: The geometry of Finsler spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 56 (1950), 5–16.
Busemann, H.: The foundations of Minkowskian geometry. Comment. Math. HeIv. 24 (1950), 156–187.
Rund, H.: Ober die Parallelverschiebung in Finslerschen Räumen. Math. Z. 54 (1951), 115–128.
Barthel, W.: Über eine Parallelverschiebung mit Längeninvarianz in lokal-Minkowskischen Räumen I, IL Arch. Math. 4 (1953), 346–365.
Barthel, W.: Variationsprobleme der Oberflächenfunktion in der Finslerschen Geometrie. Math. Z. 62 (1955), 23–36.
Barthel, W.: Extremalprobleme in der Finslerschen Inhaltsgeometrie. Ann. Univ. Saray. Scientia 4 (1955), 171–183.
Barthel, W.: Über homogene Funktionen auf dem Graßmann-Kegel. Arch. Math. 9 (1958), 262–274.
Barthel, W.: Über metrische Differentialgeometrie, begründet auf dem Begriff eines p-dimensionalen Areals. Math. Ann. 137 (1959), 42–63.
Barthel, W.: Nichtlineare Zusammenhänge und deren Holonomiegruppen. J. Reine Angew. Math. 212 (1963), 120–149.
Barthel, W. und Brechtken-Manderscheid, U.: Zur Variationsrechnung mehrfacher Integrale. Tensor (N.S.) 24 (1972), 101–115.
Haubitz, I.: Nichtlineare Zusammenhänge in Bündeln von Graßmann-Kegeln. Tensor (N.S.) 24 (1972), 123–160.
Barthel, W. und Haubitz, I.: Zur metrischen Differentialgeometrie auf Mannigfaltigkeiten mit p-Areal und nichtlinearem Zusammenhang für einfache p-Vektoren. Jber. Deutsch. Math.-Verein. 75 (1973), 9–41.
Kern, J.:The geometry of vector spaces with areal structures. Manuskript-Vervielfältigung, Bonn 1976.
Steiner, S.: Zur Geometrie der Flächenräume. Math. Z. 147 (1976), 181–190.
Barthel, W. und Pabel, H.: Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischen Differentialgeometrie. Res. Math. 1 (1978), 1–41.
Proceedings of the Geometry Symposium in Siegen 1978. Birkhäuser, Basel/Boston/Stuttgart 1979.
Pabel, H.: Zur Geometrie auf Mannigfaltigkeiten mit p-Transversalität und homogenem Zusammenhang für zerlegbare p-Vektoren unter besonderer Berücksichtigung der ArealMannigfaltigkeiten. Dissertation, Würzburg 1980.
Author information
Authors and Affiliations
Editor information
Editors and Affiliations
Rights and permissions
Copyright information
© 1981 Springer Basel AG
About this chapter
Cite this chapter
Barthel, W., Pabel, H. (1981). Die Verallgemeinerung Christoffelscher Zusammenhänge in der nichtlinearen Differentialgeometrie. In: Butzer, P.L., Fehér, F. (eds) E. B. Christoffel. Birkhäuser, Basel. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5452-8_48
Download citation
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-5452-8_48
Publisher Name: Birkhäuser, Basel
Print ISBN: 978-3-0348-5453-5
Online ISBN: 978-3-0348-5452-8
eBook Packages: Springer Book Archive