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La formule de Cayley pour le nombre d’arbres

Abstrait

Une des plus belles formules en combinatoire énumérative est relative au nombre d’arbres étiquetés. Considérons l’ensemble N = {1, 2, . . ., n}. Combien d’arbres différents peut-on former sur cet ensemble de sommets? Soit T n ce nombre. Le décompte «à la main» donne T 1 = 1, T 2 = 1, T 3 = 3, T 4 = 16, avec les arbres représentés dans le tableau suivant:
Il faut remarquer que l’on considère ici des arbres étiquetés. Ainsi, par exemple, bien qu’il y ait un seul arbre d’ordre 3 à isomorphisme de graphe près, il y a 3 arbres étiquetés différents (on commence par choisir le sommet intérieur). Pour n = 5, il y a trois arbres non isomorphes:
Il est clair qu’il y a 5 étiquetages différents pour le premier arbre, et qu’il y a \( \tfrac{{5!}} {2} = 60 \) étiquetages pour le second et le troisième. Nous obtenons donc: T 5 = 125. Cela suffit pour conjecturer que T n = n n−2, et c’est précisément le résultat établi par Cayley.

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