Remarques sur la théorie axiomatique de la dimension

Résumé

Dans votre mémoire „Zur Begründung einer axiomatischen Theorie der Dimension“ (Monatshefte f. Math. u. Phys., 36, p. 205) vous demandez, si un Système monotone, F _σ-additif, topologique et complet est nécessairement compactifiable La réponse est négative. Soit A un ensemble G _δ discontinu à une dimension dans le plan¹) et soit G le Système de tous les ensembles plans qui sont homéomorphes à des sous-ensembles de A. Ce Système est évidemment monotone et topologique. II est F _σ-additif. En effet, tout ensemble fermé homéomorphe d’un sous-ensemble de A est discontinu; donc la somme d’une suite dénombrable d’ensembles fermés de G, étant de dimension 0, est topologiquement contenu dans l’ensemble A, puisque ce dernier ensemble, étant un G _δ indénombrable, contient un sous-ensemble parfait. — Le Système G est complet. Soit M un élement de G, M* un sous-ensemble de A homéomorphe de M. L’homéo-morphie entre M et M* peut-être étendue, en vertu du théorème de M. Lavrentieff à une homéomorphie entre deux ensembles Gδ : G et G* (G ⊃ M, G*⊃ M*). Soit K=A.G*, et K* l’image de K (dans la correspondance entre G et G*). L’ensemble K, étant pro-duit de deux ensembles 6δ, est un G _δ, donc K*, étant homéomorphe de K, est un G _δ. D’autre part, K* contient M comme sous-ensemble et, étant homéomorphe d’un sous-ensemble de A, est élément de G.

Des exemples d’ensembles G _δ dont je parle dans cette lettre se trouvent par ex. dans ma note publiée dans les Ann. de la Soc. Pol. Math., t. V, p. 109.