Zusammenfassung
Der klassische Lösungsbegriff für lineare partielle Differentialgleichungen kann verallgemeinert werden zu sogenannten distributionellen Lösungen. So ist etwa das elektrostatische Potential einer ausdehnungslosen Ladung eine solche Lösung. Sie kann nicht in den Ort der Ladung fortgesetzt werden, ist also keine klassische Ganzraumlösung der Laplacegleichung. Weiter entfernt von einer klassischen Lösung ist die sogenannte Greensche Funktion von d’Alemberts Wellengleichung im Fall von drei Raumdimensionen. Sie ist nämlich gar keine Funktion. Sie führt auf den Begriff der Fundamentallösungen eines linearen partiellen Differentialoperators, der die Greenschen Funktionen einheitlich verallgemeinert. Was ist eine Distribution? Welche exakte Bedeutung hat Diracs Delta-Distribution? Wie lassen sich Distributionen differenzieren? Was ist der Träger einer Distribution? Lassen sich Distributionen falten? Was ist ein Liénard-Wiechert-Potential? Was ist der Evolutionskern der Schrödinger- oder auch Wärmeleitungsgleichung? Wie lauten die die wichtigsten Fundamentallösungen der Physik?
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Notes
- 1.
Im Sinn von Lebesgue.
- 2.
Die Bezeichnung \(vp\frac{1}{x}\) leitet sich vom französischen „valeur principal“ für Hauptwert(integral) ab.
- 3.
Der Wert von \(\varTheta \) bei 0 ist ohne Belang.
- 4.
Fundamentallösungen werden auch als Grundlösungen bezeichnet.
- 5.
Für \(f\in \mathscr {D}\left( \mathbb {R}^{3}\right) \) ist u die einzige Lösung von \(\varDelta u=f\) mit \(\lim _{\lambda \rightarrow \infty }u\left( \lambda x\right) =0\) für alle \(x\in \mathbb {R} ^{3}\setminus 0\), siehe [2, Kap. V, § 14.3.3]. Die Konstuktion einer Lösung von \(\varDelta u=f\) durch Faltung von \(-1/4\pi r\) mit f ist auch für gewisse f möglich, die nicht in \(\mathscr {D}\left( \mathbb {R}^{3}\right) \) sind. Zum Beispiel für \(f\in C^{2}\left( \mathbb {R} ^{3}\right) \) mit \(f=0\) außerhalb einer genügend großen Kugel.
- 6.
Der Wert von \(\sigma \) bei 0 ist belanglos, solange er endlich ist.
- 7.
Sie wird in der physikalischen Literatur als Paulis Kommutatorfunktion bezeichnet.
- 8.
Dabei ist \(\left( f\otimes g\right) \left( x,y\right) =f\left( x\right) g\left( y\right) \) für alle \(x,y\in \mathbb {R}^{n}.\)
- 9.
Man beachte, dass die Energiedichte von \(\widehat{u}\) im Bereich \(\left| x\right|>L>a\) in x und a konstant ist. Dies führt für \(q_{1}+q_{2}\ne 0\) zu einer unendlich großen Gesamtenergie von \(\widehat{u}.\)
- 10.
Ein wesentlicher Zug von Geniestreichen wie z. B. Newtons Gravitationsgesetz liegt darin, das gegenwärtig Durchschaubare vom vorläufig Undurchschaubaren zu trennen und Teilprobleme zu lösen. Erst Einsteins allgemeine Realtivitätstheorie füllte das Vakuum zwischen zwei Himmelskörpern durch einen „Stoff“ mit eigener Dynamik. Es ist das metrische Feld, welches die Kräfte zwischen den Himmelskörpern vermittelt.
- 11.
Die Auszeichnung positiver Zeitrichtung kommt durch das Fehlen der Zeitumkehrinvarianz der Wärmeleitungsgleichung zustande. Die Auszeichnung der Anfangszeit 0 ist willkürlich.
- 12.
In einer Einheit, die mit der Kelvinskala inhomogen linear veknüpft ist. Negative Temperaturen sind also durchaus zulässig.
- 13.
Eine Änderung von \(\rho \) durch chemische Reaktionen muss also weitgehend ausgeschlossen sein.
- 14.
Dazu stellt man sich den Stab mit Isoliermaterial umhüllt vor.
- 15.
Die Lösung \(u\left( t,\cdot \right) \) ist also die Faltung von \(K\left( t,\cdot \right) \) mit f. Die Funktion K heißt deshalb Evolutionskern der 1d-Wärmeleitungsgleichung (engl. heat kernel).
Literatur
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Grübl, G. (2019). Distributionen. In: Mathematische Methoden der Theoretischen Physik | 2. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58075-2_5
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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