Zusammenfassung
Neben den linearen Funktionen erweisen sich auch die Exponentialfunktionen als besonders wichtige mathematische Modelle für viele Prozesse in verschiedensten Anwendungsbereichen. So gehören „lineares Wachstum“ und „exponentielles Wachstum“ zu den wichtigsten Wachstumsarten in der Mathematik. In diesem Kapitel geht es zunächst um typische Beispiele exponentiellen Wachstums (Zinsen und Zinseszinsen, radioaktiver Zerfall), dann um die allgemeine Beschreibung von Exponentialfunktionen und ihrer elementaren Eigenschaften, um eine Gegenüberstellung zwischen linearem und exponentiellem Wachstum (einschließlich Verdopplungszeiten), um exponentielle Zerfallsprozesse (einschließlich Halbierungszeiten), geometrische Folgen und Reihen, und schließlich um die Euler’sche Zahl \(\mathrm{e}\) als Basis der „natürlichen Exponentialfunktion“ und den Zusammenhang von Exponentialfunktionen mit Tonleitern. Bei der Zahl \(\mathrm{e}\) kann nur ein Weg aufgezeigt werden, wie man in unserem Kontext auf diese Zahl kommt. Warum diese in irgendeiner Weise „natürlich“ ist, kann hier nicht erläutert werden, weil dazu Analysis nötig ist, die hier nicht im Zentrum stehen soll.
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- 1.
Oft schreibt man dafür auch \(i=p\) % p. a., wobei „p. a.“ für „pro anno“ oder „per anno“ steht. Dieser Zusatz ist deswegen wichtig, weil Zinssätze allein ja noch nichts aussagen, wenn man nicht angibt, auf welchen Zeitraum sie sich beziehen – denn 3 % bezogen auf ein Jahr ist doch etwas anderes als 3 % bezogen auf einen Monat oder auf zehn Jahre! Wenn man Jahreszinssatz schreibt oder definitorisch den Buchstaben \(i\) immer als Jahreszinssatz festlegt, ist das „p. a.“ natürlich nicht mehr nötig. Der Buchstabe \(i\) für den Jahreszinssatz ist in der Finanzmathematik üblich, dadurch werden die Formeln etwas übersichtlicher und kürzer, weil man einfach \(i\) statt \(p/100\) schreiben kann; die Zahl \(p\) (ohne %) heißt dabei oft auch „Zinsfuß“. In der Prozentrechnung hat sich der analoge Begriff „Prozentfuß“ für \(p\) (noch?) nicht durchgesetzt. Bei der Prozentrechnung ist in der Literatur auch nicht einheitlich, was man unter Prozentsatz versteht, manchmal \(p\) und manchmal \(p\) %; wir verstehen darunter \(p\) %.
- 2.
Das gilt natürlich nur im makroskopischen Bereich, wenn ausreichend viel von der Substanz vorhanden ist.
- 3.
Strontium-90 ist eine stark strahlende Substanz, die bei Atomwaffenversuchen freigesetzt wird und auch in Tschernobyl auftrat. Strontium ist dem Kalzium ähnlich, wird also u. a. im Skelett von Menschen und Tieren „eingebaut“.
- 4.
Räuber, Piraten, Inflationen, Heuschrecken usw. bitte nicht berücksichtigen, es handelt sich um ein reines Gedanken-Experiment!
- 5.
Überlegen Sie selbst, wie die entsprechenden Formulierungen für den Fall \(a<0\) lauten.
- 6.
Das kann man sich am besten bei zeitlichen Wachstumsprozessen vorstellen, ist aber allgemein zu verstehen.
- 7.
Man beachte, dass wir \(a> 0\) vorausgesetzt haben.
- 8.
- 9.
Aber dieses Gedankenexperiment kann nicht erklären, warum die resultierende Zahl so bedeutend ist, nur die Existenz einer vielleicht unvermuteten „Grenze“.
Literatur
Conally E et al (2004) Functions modelling change. A preparation for calculus. John Wiley & Sons, New York
Hughes-Hallett D (1980) The math workshop: Elementary functions. W.W. Norton, New York London
Wittmann G (2008) Elementare Funktionen und ihre Anwendungen. Springer, Berlin Heidelberg
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Humenberger, H., Schuppar, B. (2019). Exponentialfunktionen. In: Mit Funktionen Zusammenhänge und Veränderungen beschreiben. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-58062-2_3
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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Online ISBN: 978-3-662-58062-2
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