Potenzen und Wurzeln

Kapitelvorwort

Neben den Grundrechenarten sind Potenzen und Wurzeln häufige Rechenoperationen in der Mathematik. In diesem Abschnitt wiederholen Sie die wichtigsten Rechenregeln der Potenz- und Wurzelrechnung.

Appendices

Aufgaben

8.1

Berechnen Sie:

• a) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$

• b) $\displaystyle\left(\frac{2}{5}\right)^{2}:\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$

• c) $\displaystyle 4^{3}\cdot\sqrt[3]{64}:8^{-\frac{1}{3}}$

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}$

8.2

Vereinfachen Sie so weit wie möglich.

• a) $\displaystyle a^{-2}:a^{-4}$

• b) $\displaystyle\left(\frac{x^{2}\cdot y}{n\cdot m^{3}}\right)^{3}:\left(\frac{x\cdot y^{2}}{n^{2}\cdot m^{2}}\right)^{4}$

• c) $\displaystyle\left(\frac{\sqrt[3]{4x^{2}}}{\sqrt{x^{3}}}\right)^{-2}$

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt{v}\cdot\sqrt[4]{v^{3}}}{\sqrt[4]{v}}$

8.3

Formen Sie so um, dass im Nenner keine Wurzeln mehr stehen.

• a) $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{7}}$

• b) $\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

• c) $\displaystyle\frac{2}{\sqrt[3]{4}}$

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{n}+\sqrt{m}}$

Lösungen zu den Aufgaben

8.1

• a) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}=4$

• b) $\displaystyle\left(\frac{2}{5}\right)^{2}:\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{16}{625}$

• c) $\displaystyle 4^{3}\cdot\sqrt[3]{64}:8^{-\frac{1}{3}}=4^{3}\cdot 4\cdot\sqrt[3]{8}=512$

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{56}}{\sqrt[3]{7}}=\frac{\sqrt[3]{7}\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{7}}=2$

8.2

• a) $\displaystyle a^{-2}:a^{-4}=a^{-2}\cdot a^{4}=a^{2}$

• b) $\displaystyle\left(\frac{x^{2}\cdot y}{n\cdot m^{3}}\right)^{3}:\left(\frac{x\cdot y^{2}}{n^{2}\cdot m^{2}}\right)^{4}=\left(\frac{x^{2}\cdot y}{n\cdot m^{3}}\right)^{3}\cdot\left(\frac{n^{2}\cdot m^{2}}{x\cdot y^{2}}\right)^{4}=\frac{x^{6}\cdot y^{3}}{n^{3}\cdot m^{9}}\cdot\frac{n^{8}\cdot m^{8}}{x^{4}\cdot y^{8}}=\frac{x^{2}\cdot n^{5}}{y^{5}\cdot m}$

• c) $\displaystyle\left(\frac{\sqrt[3]{4x^{2}}}{\sqrt{x^{3}}}\right)^{-2}=\left(\frac{\sqrt{x^{3}}}{\sqrt[3]{4x^{2}}}\right)^{2}=\frac{x^{3}}{\left(4x^{2}\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{x^{\frac{9}{3}}}{\left(16x^{4}\right)^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{\frac{x^{5}}{16}}$ für alle $x\geq 0$

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt{v}\cdot\sqrt[4]{v^{3}}}{\sqrt[4]{v}}=v$; Hinweis: Umschreiben der Wurzeln in Potenzen

8.3

• a) $\displaystyle\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5}{7}\sqrt{7}$

• b) $\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{5+\sqrt{15}}{2}$;  Hinweis: 3. binomische Formel

• c) $\displaystyle\frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{2}$;  Hinweis: Umschreiben der Wurzeln in Potenzen

• d) $\displaystyle\frac{\sqrt{n}-\sqrt{m}}{\sqrt{n}+\sqrt{m}}=\frac{n-2\sqrt{mn}+m}{n-m}$; Hinweis: 3. binomische Formel

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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