Mathematisch kommunizieren und argumentieren

Kapitelvorwort

In diesem Kapitel erhalten Sie einen Überblick über die wichtigsten Symbole und Begriffe der mathematischen Fachsprache. Zusätzlich vertiefen Sie Ihre Fähigkeiten, mathematische Sachverhalte mit Worten zu beschreiben und zu erklären. Dazu gehören einfache Begründungen, Schlussfolgerungen oder Widerlegungen.

Achtung  Auch dieses Kapitel greift allgemeine mathematische Kompetenzen auf. Die in den Beispielen und Aufgaben verwendeten Rechentechniken werden in den folgenden Kapiteln vertieft behandelt. Bitte achten Sie auf die Verweise im Text.

Appendices

Aufgaben

4.1

Welche der folgenden Aussagen sind richtig?

• a) $[1;5]\subset\{1;2;3;4;5\}$

• b) $\{1;5\}\subset[1;5]$

• c) $\{1;5\}\subset\mathbb{N}$

• d) $\{1{,}5\}\subset\mathbb{N}$

• e) $[1;5]\subset\mathbb{N}$

• f) $\{1;5\}\subset\mathbb{R}$

• g) $\{1{,}5\}\subset\mathbb{R}$

4.2

$A$ ist die Menge der natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, und $B$ die Menge der natürlichen Zahlen, die durch 5 teilbar sind. Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form an.

• a) $A\cap B$

• b) $A\backslash B$

• c) $\bar{A}$

4.3

Was ist an der folgenden Schreibweise falsch?

$$\begin{aligned}\displaystyle f(x)=x^{2}\quad\Leftrightarrow\quad f(2)\leavevmode\nobreak\ \rightarrow\leavevmode\nobreak\ 4\end{aligned}$$

4.4

$f_{1}$ und $f_{2}$ sind im Intervall $[a;b]$ integrierbare Funktionen. Erklären Sie mit Worten.

• a) $\int_{a}^{b}\left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)\,dx=\int_{a}^{b}f_{1}(x)\,dx+\int_{a}^{b}f_{2}(x)\,dx$

• b) $f_{1}(x)<f_{2}(x)\quad\textnormal{f{\"u}r alle }x\in[a;b]$

  $\Rightarrow\quad\int_{a}^{b}f_{1}(x)\,dx<\int_{a}^{b}f_{2}(x)\,dx$

4.5

Beschreiben Sie mit Worten.

$$\begin{aligned}\displaystyle y+10=8x\quad\wedge\quad x+10=0{,}5y\end{aligned}$$

4.6

Begründen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.

• a) Eine Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch durch 6 teilbar.

• b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.

• c) Die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen ist durch 3 teilbar.

• d) Eine Zahl, die ungerade und keine Primzahl ist, hat mindestens einen echten ungeraden Teiler.

4.7

Ein Fallschirmspringer springt in $2\,000\,\textnormal{m}$ Höhe über dem Boden aus dem Flugzeug. Zunächst fällt er etwa 40 Sekunden lang mit ungeöffnetem Fallschirm bis auf 500 m Höhe über dem Boden. Während dieser ersten Phase steigt seine Geschwindigkeit zunächst schnell an und erreicht innerhalb der ersten 4 Sekunden knapp 110 km$/$h. Sie wächst weiter, nähert sich aber wegen des zunehmenden Luftwiderstandes immer mehr dem Wert 148 km$/$h an, der nach 12 Sekunden praktisch erreicht ist. Nach 40 Sekunden wird der Fallschirm geöffnet. Dadurch reduziert sich die Geschwindigkeit innerhalb von etwa 3 Sekunden auf 18 km$/$h. Mit dieser Geschwindigkeit landet der Fallschirmspringer auf dem Boden.

Stellen Sie den beschriebenen Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit grafisch dar. Skizzieren Sie den Zusammenhang zwischen der Zeit und der Höhe.

4.8

Bestimmen Sie die Fläche der abgebildeten Figur und präsentieren Sie den Lösungsweg.

Lösungen zu den Aufgaben

4.1

• a) Falsch, das Intervall enthält nicht nur natürliche Zahlen

• b) Richtig

• c) Richtig

• d) Falsch, $1{,}5$ ist keine natürliche Zahl

• e) Falsch, das Intervall enthält nicht nur natürliche Zahlen

• f) Richtig

• g) Richtig

4.2

• a) $A\cap B=\left\{0;15;30;45;\ldots\right\}$

• b) $A\backslash B=\left\{3;6;9;12;18;21;24;27;33;\ldots\right\}$

• c) $\bar{A}=\left\{1;2;4;5;7;8;10;11;\ldots\right\}$

4.3

Der Doppelpfeil ist falsch, da aus der rechten Seite nicht die linke folgt. Richtig wäre der Implikationspfeil $\Rightarrow$.

Die Schreibweise $f(2)\rightarrow 4$ ist falsch. Richtig wäre $f(2)=4$.

4.4

• a) Das bestimmte Integral der Summe zweier Funktionen über dem Intervall $[a;b]$ kann man als Summe der Integrale der beiden Funktionen über dem Intervall berechnen.

• b) Wenn die Funktionswerte einer Funktion $f_{1}$ im Intervall $[a;b]$ stets kleiner sind als die einer zweiten Funktion $f_{2}$, dann ist auch das Integral von $f_{1}$ über dem Intervall $[a;b]$ kleiner als das von $f_{2}$.

4.5

Gesucht ist ein Zahlenpaar $(x;y)$, das folgende beiden Eigenschaften erfüllt:

• Wenn man 10 zu $y$ addiert, erhält man den 8-fachen Wert von $x$.

• Wenn man 10 zu $x$ addiert, erhält man den halben Wert von $y$.

4.6

• a) Falsch. Gegenbeispiel: 9 ist durch 3, aber nicht durch 6 teilbar.

• b) Richtig. Wenn das Produkt gerade wäre, wäre es durch 2 teilbar. Dann müsste mindestens einer der beiden Faktoren durch 2 teilbar sein, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.

• c) Richtig. Die Summe von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer das Dreifache der mittleren Zahl.

• d) Richtig. Eine Zahl, die keine Primzahl ist, hat mindestens zwei echte Teiler. Da sie ungerade ist, müssen die Teiler ungerade sein (siehe Aussage b)).

4.7

Zusammenhang zwischen Zeit und Geschwindigkeit

Zusammenhang zwischen Zeit und Höhe

4.8

Aus der Zeichnung kann man entnehmen, dass die abgebildete Figur durch zwei Kreisbögen mit folgenden Eigenschaften begrenzt ist: Der linke Bogen gehört zu einem Kreis mit Mittelpunkt $M$ und Radius 10 cm, der rechte Bogen enthält $M$ und überspannt ein gleichschenkliges Sehnendreieck mit dem Winkel $120^{\circ}$ an der Spitze.

In der Zeichnung ist $M_{2}$ der Mittelpunkt des rechten Kreises. Die Strecken ${PM_{2}}$ und ${MM_{2}}$ sind Radien dieses Kreises, und daher ist das Dreieck $PMM_{2}$ gleichschenklig mit dem Basiswinkel $60^{\circ}$, also gleichseitig. Daraus folgt, dass auch der rechte Kreis den Radius 10 cm hat und die aus dem linken Kreis ausgeschnittene Fläche doppelt so groß ist wie das $120^{\circ}$-Kreissegment.

Die Fläche des ausgeschnittenen Kreissegments $A$ ist die Differenz des Kreissektors $A_{s}$ minus die Fläche des Dreiecks $A_{d}$:

$$\begin{aligned}\displaystyle A=A_{s}-A_{d}\end{aligned}$$

Der Kreissektor macht ein Drittel des Kreises aus, also

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{s}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\approx 104{,}72\,\textnormal{cm}^{2}.\end{aligned}$$

Das Dreieck $PMQ$ hat die Grundseite $r\cdot\sqrt{3}$ und die Höhe $\frac{r}{2}$, also

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{d}=\frac{1}{2}\cdot r\sqrt{3}\cdot\frac{r}{2}=\frac{r^{2}}{4}\sqrt{3}\approx 43{,}30\,\textnormal{cm}^{2}.\end{aligned}$$

Die Fläche des Kreissegments beträgt damit

$$\begin{aligned}\displaystyle A\approx 104{,}72\,\textnormal{cm}^{2}-43{,}30\,\textnormal{cm}^{2}=61{,}42\,\textnormal{cm}^{2}.\end{aligned}$$

Die gesuchte Fläche $A_{F}$ der Figur ist die Kreisfläche minus 2 mal die Fläche des Kreissegments:

$$\begin{aligned}\displaystyle A_{F}&\displaystyle=\pi r^{2}-2\left(\frac{1}{3}\pi r^{2}-\frac{r^{2}}{4}\sqrt{3}\right)\\ \displaystyle&\displaystyle=\frac{1}{3}\pi r^{2}+\frac{r^{2}}{2}\sqrt{3}\approx 191{,}32\,\textnormal{cm}^{2}\end{aligned}$$

Ein Vergleich der Flächen zeigt, dass die Figur etwas größer ist als der halbe Kreis. Dies wird durch die berechneten Werte bestätigt.

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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