Lineare Gleichungssysteme

Kapitelvorwort

Dieses Kapitel setzt das vorangegangene fort, indem nun mehrere lineare Gleichungen zu sogenannten Gleichungssystemen kombiniert werden. Wie auch zuvor geht es wieder um das Berechnen von Lösungsmengen. Und auch in diesem Kapitel spielt die geometrische Visualisierung der Lösungsmengen für das Verständnis eine große Rolle.

Appendices

Aufgaben

16.1

Lösen Sie:

• a)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}2x&+&3y&=&8\\ x&-&y&=&-1\end{array}\end{aligned}$$
• b)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}x&-&2y&=&-7\\ 2x&+&3y&=&0\end{array}\end{aligned}$$
• c)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c c c}5x&+&y&+&2z&=&3\\ -2x&&&+&z&=&-1\\ x&+&y&+&z&=&0\end{array}\end{aligned}$$
• d)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c c c}x&+&y&+&z&=&4\\ x&-&y&+&z&=&0\\ 2x&+&y&-&2z&=&-6\end{array}\end{aligned}$$

16.2

Diskutieren Sie die Lösbarkeit in Abhängigkeit der jeweils gegebenen Parameter:

• a)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}2x&+&3y&=&b\\ x&+&ay&=&4\end{array}\end{aligned}$$
• b)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}x&+&y&=&k\\ 2x&+&3y&=&6\end{array}\end{aligned}$$
• c)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c c c}x&+&y&-&z&=&a\\ -x&-&y&+&z&=&7\\ &&y&+&z&=&3\end{array}\end{aligned}$$
• d)
  $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c c c}x&+&2y&-&z&=&s\\ x&+&y&&&=&1\\ &&y&-&z&=&2\end{array}\end{aligned}$$

16.3

• a) Ergänzen Sie jedes Gleichungssystem so, dass es lösbar bzw. nicht lösbar ist.

  • (i)
    $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}-x&&&=&1\\ x&+&\Box y&=&1\end{array}\end{aligned}$$
  • (ii)
    $$\begin{aligned}\displaystyle\begin{array}[]{c c c c c}x&+&2y&=&3\\ x&+&\Box y&=&\Box\end{array}\end{aligned}$$

  Bestätigen Sie Ihre Angaben durch eine Rechnung.

• b) Welches der beiden Gleichungssysteme lässt sich so ergänzen, dass die Lösungsmenge unendlich viele Elemente enthält?

16.4

Welche der folgenden Umformungen sind beim Lösen eines linearen Gleichungssystems zulässig?

• a) Multiplizieren einer Gleichung mit einer beliebigen reellen Zahl außer null.

• b) Verändern der Reihenfolge der Gleichungen.

• c) Quadrieren beider Seiten einer Gleichung.

• d) Eine Gleichung oder das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen hinzuaddieren oder subtrahieren.

• e) Eine Gleichung durch eine andere Gleichung des Gleichungssystems ersetzen.

Lösungen zu den Aufgaben

16.1

• a) $x=1$, $y=2$

• b) $x=-3$, $y=2$

• c) $x=\frac{2}{3}$, $y=-1$, $z=\frac{1}{3}$

• d) $x=-1$, $y=2$, $z=3$

16.2

• a) Das LGS hat für $a=\frac{3}{2}$ und $b=8$ unendlich viele Lösungen, alle der Form $(4-\frac{3}{2}y;y)$. Das LGS ist für $a=\frac{3}{2}$ und $b\neq 8$ unlösbar. Das LGS hat für $a\neq\frac{3}{2}$ genau eine Lösung, und zwar der Form $(\frac{b}{2}-\frac{3}{2}\cdot\frac{b-8}{3-2a};\frac{b-8}{3-2a})$.

• b) Das LGS hat für jedes $k\in\mathbb{R}$ genau eine Lösung, und zwar der Form $(-6+3k;6-2k)$.

• c) Das LGS hat für $a=-7$ unendlich viele Lösungen der Form $(2z-10;3-z;z)$. Für alle $a\neq-7$ ist das LGS unlösbar.

• d) Das LGS hat für $s=3$ unendlich viele Lösungen, alle der Form $(-z-1;z+2;z)$. Das LGS ist für $s\neq 3$ unlösbar.

16.3

• a) Das LGS $(i)$ ist immer lösbar, wenn vor dem $y$ eine Zahl ungleich $0$ steht. Das LGS $(ii)$ ist eindeutig lösbar, wenn vor $y$ keine 2 steht. Es ist unlösbar, wenn vor $y$ eine 2 steht und rechts eine Zahl ungleich 3. Es ist lösbar mit unendlich vielen Lösungen, wenn vor $y$ eine 2 steht und rechts eine 3.

• b) Steht vor $y$ eine Zahl ungleich 0, ist das LGS $(i)$ immer eindeutig lösbar. Das LGS $(ii)$ hat für die Lücke vor $y$ gleich $2$ unendlich viele Lösungen, wenn die Lücke auf der rechten Seite gleich 3 ist.

16.4

• a) Zulässig

• b) Zulässig

• c) Nicht zulässig

• d) Zulässig

• e) Nicht zulässig

Ausführliche Lösungen zu den Aufgaben finden Sie im Online-Material.

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