Finite-Elemente-Methode

Zusammenfassung

Auch die Klasse der Finiten-Elemente-Verfahren kann auf den mehrdimensionalen Fall übertragen werden. Die Näherungslösung ist wie bei den Randwertproblemen für gewöhnliche Differenzialgleichungen eine einfache Funktion, die man als Linearkombination von Basisfunktionen darstellt. Dies sind auch hier stückweise Polynome. Für verschiedene Gitterzellen, Dreiecke und Vierecke in zwei Raumdimensionen, werden Basisfunktionen eingeführt. Die Koeffizienten der Linearkombination werden wieder so bestimmt, dass der Approximationsfehler möglichst klein wird. Hierzu gibt es das Verfahren von Ritz und die Methode der gewichteten Residuen. Wegen der häufigen Anwendung wird vor allem das Galerkin-Verfahren als Methode der gewichteten Residuen betrachtet. Eine elementweise Formulierung wird eingeführt, in der für jedes finite Element eine lokale Massen- und Steifigkeitsmatrix aufgestellt wird. Die lokalen Matrizen werden zu einer globalen Matrix assembliert.