Zusammenfassung
Eine große Resonanz in den Medien fand im Jahre 2016 der Nachweis der Gravitationswellen. Dieses Phänomen ist so fundamental, dass man sich mit ihm etwas beschäftigen sollte, zumal die Detektoren auf optischen Interferenzmethoden basieren, die in diesem Band besprochen wurden. Wir beginnen mit Bemerkungen über das Raum-Zeit-Kontinuum in der Allgemeinen Relativitätstheorie und die Eigenschaften und die Erzeugung der Gravitationswellen. Es folgt die Darstellung der wichtigsten experimentellen Aspekte: Wie ist ein interferometrischer Detektor aufgebaut? Welche Empfindlichkeit wird für den Nachweis von Gravitationswellen erreicht und durch welche physikalischen Effekte wird sie begrenzt?
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Notes
- 1.
Ausführliche mathematische Details findet man in entsprechenden Lehrbüchern wie: H. Stephani, „Allgemeine Relativitätstheorie“, 4. Auflage, Dt. Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1991; T. Fließbach, „Allgemeine Relativitätstheorie“, 7. Auflage, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, 2016.
- 2.
Genauer gesagt, muss man zwischen dem Einstein-Tensor und dem Krümmungstensor unterscheiden. Letzterer wird aus den ersten und zweiten Ableitungen der g ik nach den Koordinaten gebildet und besitzt \(4^{4}=256\) Komponenten. Der Einstein-Tensor entsteht durch Reduktion auf einen 4 × 4-dimensionalen Tensor. Zusätzlich enthält er eine Krümmung des ganzen Kosmos, die auch ohne Quelle vorhanden ist (kosmologische Konstante). Diese spielt hier keine Rolle.
- 3.
In starken Feldern gibt es zusätzlich eine radiale Krümmung \(G_{rr}\neq 0\). Sie führt dazu, dass die Ablenkung eines Lichtstrahls in einem Gravitationsfeld doppelt so groß ist, wie man aus der Schwerkraftwirkung auf ein Photon errechnet.
- 4.
Wegen der Nichtlinearität der Einsteinschen Feldgleichungen sind solche Wellen an der Quelle keine linearen Superpositionen.
- 5.
Die Gründe dafür, warum sich aus 10 Feldgleichungen nur zwei Polarisationszustände ergeben, findet man in der Literatur über Allgemeine Relativitätstheorie: Die Feldgleichungen sind nicht voneinander unabhängig und invariant gegenüber Eichtransformationen.
- 6.
B. P. Abbott et al., LIGO Collaboration, „Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger“, Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102.
- 7.
Weil sich Quelle und Beobachter relativ zueinander bewegen, ist am Ort des Beobachters an der Energie noch ein von der Rotverschiebung \(\mathcal{Z}\) der Quelle abhängiger Korrekturfaktor anzubringen. Bei dem beobachteten Ereignis macht das rund 10 % aus.
- 8.
Für die Entdeckung und die Analyse dieses Doppelsternsystems erhielten R. A. Hulse und J. H. Taylor im Jahre 1993 den Nobelpreis.
- 9.
In der etwas aufwändigen Rechnung wird (10.23 ) mittels Fourier-Transformationen und Variablen-Transformationen auf das Zeitspektrum der Photonen zurückgeführt, das mit Hilfe der Poisson-Statistik analysiert wird. Eine äquivalente, bereits im Jahre 1918 von W. Schottky angegebene Formel gibt es für das Rauschen eines durch einen Leiter fließenden Gleichstroms, das von der Quantelung der elektrischen Ladung herrührt: \(\overline{\Updelta I^{2}}=2eI\Updelta\nu\).
- 10.
Für die Entdeckung der Gravitationswellen erhielten im Jahr 2017 R. Weiss, B. Barish und K. Thorne den Nobelpreis für Physik.
- 11.
LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, „A Three-Detector Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Coalescence“, Phys. Rev. Lett. 119 (2017) 141101.
- 12.
LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration, „Observation of Gravitational Waves from a Binary Neutron Star Inspiral“, Phys. Rev. Lett. 119 (2017) 161101.
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Übungsaufgaben
Übungsaufgaben
10.1 Präzisions-Zeitmessung in einem Flugzeug.
Ein Flugzeug fliege mit konstanter Geschwindigkeit v in konstanter Höhe h entlang des Äquators. Verallgemeinern Sie die Herleitung von (10.5) aus (10.2) und (10.4) auf die Differenz der Eigenzeiten zwischen dem Flugzeug und der Bodenstation und zeigen Sie, dass sich die Einflüsse der Gravitation und der Zeitdilatation addieren. Mehr hierzu (Hafele-Keating-Experiment) findet man in Bd. I/14.5. Wie unterscheiden sich die Zeitanzeigen der Uhren in folgendem Beispiel: Flughöhe \(h=10\,000\) m, Fluggeschwindigkeit \(v=200\,\mathrm{m/s}\), eine Erdumrundung in West-Richtung und eine in Ost-Richtung. Der Erdradius ist \(r_{E}=6370\) km. Man vergleiche die Resultate mit Bd. I, Tab. 14.1.
10.2 Gravitationswellen binärer Systeme.
a) Wie groß ist die Leistung der vom System Erde–Sonne abgestrahlten Gravitationswellen? Daten: Radius der Erdbahn \(r_{E}=1{,}5\cdot 10^{11}\) m, Masse der Erde \(m_{E}=6\cdot 10^{24}\) kg.
b) Wie groß ist die Leistung der Gravitationswellen eines Doppelsternsystems mit folgenden Daten: \(\text{Massen}=\text{1 Sonnenmasse}=2\cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}\), \(\text{Umlaufperiode}=\text{6\,h}\)? Wie viele Sonnenmassen werden pro Jahr abgestrahlt?
10.3 Frequenzänderung der Gravitationswelle eines binären Systems.
Beweisen Sie (10.18) mit (10.14) und (10.15) im nichtrelativistischen Grenzfall, in dem die Massen konstant sind und die Leistung der Gravitationswelle aus einer langsamen Abnahme der Gesamtenergie des Zweikörper-Systems stammt. Zahlenbeispiel: \(m_{1}=m_{2}=30\) Sonnenmassen, \(\omega_{\text{grav}}=2\pi\cdot 50\) Hz. Wie groß ist \(\dot{\omega}_{\text{grav}}\)? Um wie viel unterscheiden sich die Periodendauern zweier aufeinander folgender Oszillationen?
10.4 Gravitationswellen: Unschärferelation und Interferometrie.
Nach der Unschärferelation \(\Updelta x_{1}\Updelta p_{x}> \hbar\) verursacht die Positionsmessung eines frei beweglichen Interferometerspiegels mit der Genauigkeit \(\Updelta x_{1}\) eine Impulsunschärfe und damit eine Geschwindigkeitsunschärfe des Spiegels, was eine Positionsunschärfe \(\Updelta x_{2}\) in der Zukunft bedeutet. Die nächste Positionsmessung finde nach der Zeit τ statt, die Spiegelmasse sei m. Welche Genauigkeit \(\Updelta x=\sqrt{\Updelta x_{1}^{2}+\Updelta x_{2}^{2}}\) lässt sich für die Spiegelverschiebung erreichen? Die Amplitude einer Gravitationswelle ändere sich in der Zeit τ um \(\Updelta h_{xx}\). Wie hängt die Nachweisgrenze für \(\Updelta h_{xx}\), die man mit Interferometerarmen der Länge L 0 erhält, von τ ab? Zahlenbeispiel: \(L_{0}=4\) km, m = 40 kg, \(\tau=0{,}005\) s.
Die Zeit τ identifiziere man mit der Abklingzeitkonstanten eines Lichtstrahls in einem Interferometerarm. Wie oft muss das Licht im Arm durchschnittlich hin und her laufen, damit τ den oben angegebenen Wert hat?
10.5 Störung eines Gravitationswellen-Detektors durch externe Massen.
Eine Masse M, die sich im Abstand s vom Endspiegel eines Gravitationswelleninterferometers auf der Armachse befinde, schwinge mit einer Amplitude \(\Updelta s\) und einer Frequenz ν e in Armrichtung. Die Eigenfrequenz der Spiegelschwingung sei klein gegen ν e , sodass der Spiegel als frei beweglich betrachtet werden kann. Mit welcher Amplitude schwingt der Spiegel und welcher Dehnung entspricht das bei einer Armlänge L 0? Zahlenbeispiel: \(L_{0}=4\) km, s = 20 m, M = 1 kg, \(\nu_{e}=10\) Hz, \(\Updelta s=10\) cm.
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Heintze, J., Bock, P. (2017). Gravitationswellen. In: Bock, P. (eds) Lehrbuch zur Experimentalphysik Band 4: Wellen und Optik. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-54492-1_10
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Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg
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