Körper

Zusammenfassung

Wir befassen uns hier mit dem nächsten wichtigen Gegenstand der Algebra, den Körpern. Tatsächlich kennen wir neben $\mathbb {Q}$, $\mathbb {R}$ und $\mathbb {C}$ schon viele weitere: Ist nämlich K ein beliebiger Körper und J ein maximales Ideal in K[x], so ist auch K[x]/J nach Satz 3.17 ein Körper.

Übungsaufgaben

6.1

Seien $a, b \in \mathbb {Q}\setminus \{0\}$ so, dass $P:=x^2+a$ und $Q:=x^2+b$ in $\mathbb {Q}[x]$ irreduzibel sind. Untersuche, ob deren Zerfällungskörper in $\mathbb {C}$ über $\mathbb {Q}$ in folgenden Fällen $\mathbb {Q}$-isomorph sind:

• (a) $a=1,\ \ \ b=4,$

• (b) $a=1,\ \ \ b=-2$.

Was kann allgemein bzgl. $\mathbb {Q}$-Isomorphie der Zerfällungskörper von P bzw. Q ausgesagt werden?

6.2

Bestimme den Grad der Zerfällungskörper über $\mathbb {Q}$ in $\mathbb {C}$ der folgenden Polynome aus $\mathbb {Q}[x]:$ $x-1$, $x^5-1$, $x^p+1$ mit einer Primzahl p.

6.3

Seien $p, q \in \mathbb {Q}$ und $L:= \mathbb {Q}(\sqrt{p}, \sqrt{q})$. Zeige, dass $L = \mathbb {Q}(\sqrt{p} + \sqrt{q})$ ist.

6.4

Bestimme folgende Erweiterungsgrade:

• (a) $[\mathbb {Q}(\sqrt{15}):\mathbb {Q}]$.

• (b) $[\mathbb {Q}(\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{7}):\mathbb {Q}]$.

• (c) $[\mathbb {Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3}):\mathbb {Q}]$.

6.5

Sei L/K eine Körpererweiterung und sei $[L : K] = 2$. Zeige:

• (a) Ist $a \in L \setminus K$, so ist $L = K(a)$.

• (b) Falls K nicht Charakteristik 2 hat, dann gibt es ein $a \in L$ so, dass $\text {Min}_K(a) = x^2 - b$ mit einem geeigneten $b \in K$ gilt.

• (c) Sei K von Charakteristik 2 und sei $a \in L \setminus K$ so, dass $\text {Min}_K(a)$ nicht von der Form $x^2+c$ mit $c \in K$ ist. Dann gibt es ein $b \in L$ und ein $d \in K$ so, dass $\text {Min}_K(b) = x^2 + x + d$ ist.

6.6

Seien K ein Körper und $P=x^{4}+x^{2}+1 \in K[x]$. Bestimme einen Zerfällungskörper von P über K in folgenden Fällen:

• (a) $K = \mathbb {Q}$.

• (b) $K = \mathbb {Z}/2 \cdot \mathbb {Z}$.

6.7

Sei L/K eine Körpererweiterung und sei $[L : K] = p$ eine Primzahl. Zeige:

• (a) Ist $a \in L \setminus K$, so ist $L = K(a)$.

• (b) Sei $P \in K[x]$ und $\mathrm {Grad}\,(P)=p$ und sei $a \in L \setminus K$ eine Nullstelle von P. Dann ist P irreduzibel über K.

6.8

Sei L/K eine Körpererweiterung und sei $P \in K[x]$ irreduzibel und vom Grad $n \in \mathbb {N}$. Zeige:

Ist [L : K] endlich und n teilerfremd zu [L : K], so ist P auch in L[x] irreduzibel.

6.9

Es ist bekannt, dass e und $\pi$ beide transzendent über $\mathbb {Q}$ sind. Folgere daraus, dass die Zahlen $e+\pi$ und $e\cdot \pi$ nicht beide algebraisch sein können. (Es ist allerdings eine offene Frage, ob eine der Zahlen algebraisch ist!)

6.10

Finde alle Nullstellen von $x^3-1$ und von $x^3-2$ in $\mathbb {C}$! Seien $a_1,a_2,a_3$ die Nullstellen von $x^3-1$ und seien $b_1,b_2,b_3$ die Nullstellen von $x^3-2$. Seien weiter $A:=\mathbb {Q}(a_1,a_2,a_3)$ und $B:=\mathbb {Q}(b_1,b_2,b_3)$. Welchen Erweiterungsgrad haben A bzw. B über $\mathbb {Q}$?

6.11

Sei L ein Teilkörper von $\mathbb {C}$, der $\mathbb {Q}$ enthält. Zeige, dass für alle Körperautomorphismen $\sigma$ von L gilt: $\sigma _{|_{\mathbb {Q}}} = \text {id}_{\mathbb {Q}}$.