Gruppen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit einem weiteren zentralen Gegenstand der Algebra: den Gruppen. Wir setzen nur das voraus, was wir bereits zu Beginn von Kap. 1 aufgelistet haben.

Übungsaufgaben

10.1

Für alle $x, y \in \mathbb {Q}$ sei $x \circ y := x+y+xy$. Zeige, dass $(\mathbb {Q}\setminus \{-1\}, \circ )$ eine abelsche Gruppe ist!

10.2

Seien $n \in \mathbb {N}$, $n \ge 3$ und $\Gamma$ ein regelmäßiges n-Eck. Mit S bezeichnen wir die Symmetriegruppe von $\Gamma$, also die Gruppe aller Deckabbildungen von $\Gamma$ mit der Hintereinanderausführung $*$ als Verknüpfung.

• (a) Zeige, dass S die Ordnung $2\, \cdot \, n$ hat und ausschließlich aus Drehungen und Spiegelungen besteht.

• (b) Sei $\varphi \in S$ die Drehung um den Winkel $\frac{2{\pi }}{n}$ um den Mittelpunkt von $\Gamma$ und sei $\sigma \in S$ eine Spiegelung an einer Spiegelachse von $\Gamma$. Zeige: $\sigma *\varphi *\sigma =\varphi ^{-1}$ und $S=\langle \varphi , \sigma \rangle$.

• (c) Sei n ungerade und p ein Primteiler von |S|. Wie viele p-Sylowuntergruppen hat S und welche Struktur haben diese?

10.3

Seien $H_1$ und $H_2$ Untergruppen der Gruppe G. Außerdem sei $H_1$ Normalteiler von $H_2$ und $H_2$ sei Normalteiler von G. Folgt daraus bereits, dass $H_1$ auch Normalteiler von G ist?

10.4

Sei $(U,+)$ eine Untergruppe der Gruppe $(\mathbb {Z},+)$. Nutzen Sie aus, dass $(\mathbb {Z},+, \cdot )$ ein Ring ist, um ein anderes Argument für Beispiel 10.12 (d) zu finden! Hinweis: U ist ein Ideal.

10.5

Seien G eine Gruppe und $N \le G$. Zeige: N ist normal in G genau dann, wenn für alle $g \in G$ gilt: $g\cdot N = N \cdot g$.

10.6

Seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Zeige, dass $C_G(U) \unlhd N_G(U)$ ist.

10.7

Seien $A := \left( \begin{array}{cc} 0 &{} i \\ i &{} 0 \end{array} \right)$ und $B := \left( \begin{array}{cc} \varepsilon &{} 0 \\ 0 &{} \overline{\varepsilon } \end{array} \right)$, wobei $\varepsilon = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i$ ist.

Beweise, dass diese Matrizen invertierbar sind und bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe G der Ordnung 12 erzeugen. Bestimme die Ordnungen der einzelnen Gruppenelemente und überprüfe, ob die von B bzw. von A erzeugten zyklischen Untergruppen Normalteiler von G sind.

10.8

Wir betrachten folgende $2 \times 2$-Matrizen über $\mathbb {C}$:

$E:=\left( \begin{array}{cc}1 &{} 0 \\ 0 &{} 1 \end{array}\right) , I:=\left( \begin{array}{cc}i&{}0 \\ 0 &{} -i \end{array}\right) , J:=\left( \begin{array}{cc}0 &{} 1\\ -1&{}0 \end{array}\right)$ und $K:=\left( \begin{array}{cc}0&{} i \\ i &{} 0 \end{array}\right) .$

Zeige, dass all diese Matrizen invertierbar sind und dass $Q:=\langle J, K \rangle$ eine Gruppe der Ordnung 8 ist.

Zeige weiterhin, dass jede Untergruppe von Q ein Normalteiler von Q ist.

10.9

Seien p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung $p^3$. Zeige: Wenn G nicht abelsch ist, dann ist $|Z(G)|= p$.

10.10

Beweise, dass die Gruppe $(\mathbb {Q},+)$ nicht zyklisch ist und dass jede von endlich vielen Elementen aus $\mathbb {Q}$ erzeugte Untergruppe von $(\mathbb {Q},+)$ zyklisch ist.

10.11

Zeige, dass es keine einfache Gruppe G der Ordnung 312 gibt.

10.12

Sei G eine endliche Gruppe.

• (a) Sei $n > 2$. Dann ist die Anzahl der Elemente der Ordnung n in G gerade.

• (b) Ist |G| gerade, so ist die Anzahl der Elemente der Ordnung 2 in G ungerade. Insbesondere existiert mindestens ein Element der Ordnung 2.

10.13

Seien G eine Gruppe und $a, b\in G$ so, dass $a^{7}=1$ ist und $aba^{-1}=b^{2}$.

Welche Möglichkeiten gibt es für die Ordnung von b?

10.14

Sei G eine Gruppe. Zeige:

• (a) Genau dann ist G abelsch, wenn folgende Abbildung ein Gruppenautomorphismus ist: $\varphi :G \rightarrow G$, für alle $g \in G$ sei $g^\varphi :=g^{-1}$.

• (b) Ist $g^2 = 1$ für alle $g\in G$, so ist G abelsch.

10.15

Seien A, B, C Untergruppen der Gruppe G und sei $A \subseteq C$. Dann gilt $AB \cap C = A(B \cap C)$.

10.16

Seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G. Zeige:

• (a) Es ist $g\in H \cdot H^{g}$ genau dann, wenn $g \in H$ ist.

• (b) Falls $g \in G$ ist und $G = H \cdot H^{g}$, so ist $G = H$.

10.17

• (a) Schreibe folgende Permutation aus $\mathcal {S}_9$ als Produkt von elementfremden Zyklen:

  $$(1~3~6)(2~5~4)(48)(6~3~7~8~9).$$

• (b) Schreibe folgende Permutation aus $\mathcal {S}_9$ als Produkt von Transpositionen:

  $$(1 ~2~4)^{-1}(59)(7~3~6~2).$$

• (c) Bestimme das Signum der Permutation

  $$(3 ~8~4~6~5)^{-1}(16)(19)(12)(9~6~7)^{-1}.$$

10.18

Seien p und q verschiedene Primzahlen und sei $|G| = p^3 \cdot q$. Es habe G keine normale p-Sylowuntergruppe und auch keine normale q-Sylowuntergruppe. Zeige, dass dann G isomorph zu $\mathcal {S}_4$ ist.

10.19

Sei $n \in \mathbb {N}$. Zeige:

• (a) $\mathcal {S}_n$ ist zu einer Untergruppe von $A_{n+2}$ isomorph.

• (b) Falls $n \ge 2$ ist, dann besitzt $A_{n+1}$ keine Untergruppe, die zu $\mathcal {S}_n$ isomorph ist.

10.20

Sei G eine Gruppe der Ordnung 168. Wie viele Elemente der Ordnung 7 hat G, falls G keine normale 7-Sylowuntergruppe hat?

10.21

Für alle $z \in \mathbb {Z}$ sei $t_z$ folgende Abbildung: $t_z:\mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}$, für alle $a \in \mathbb {Z}$ ist $a^{t_z}:= a + z$. Weiter sei auch $\alpha :\mathbb {Z}\rightarrow \mathbb {Z}$ eine Abbildung, für alle $z \in \mathbb {Z}$ sei $z^\alpha :=-z$.

• (a) Zeige, dass $\alpha$ bijektiv ist und dass für jedes $z \in \mathbb {Z}$ auch $t_z$ bijektiv ist.

• (b) Für welche Werte von z ist $t_z$ ein Gruppenhomomorphismus von $(\mathbb {Z},+)$ nach $(\mathbb {Z},+)$?

• (c) Für welche Werte von z kommutieren $\alpha$ und $t_z$ bei Hintereinanderausführung?

10.22

Zeige, dass jede Gruppe der Ordnung 15 abelsch ist. Ist auch jede Gruppe der Ordnung 21 abelsch?

10.23

Sei G eine Gruppe.

• (a) Sei N ein Normalteiler von G und sei $x \in N$. Zeige, dass dann die Menge $x^G$ eine Teilmenge von N ist!

• (b) Zeige, dass $y \in G$ genau dann in Z(G) liegt, wenn $y^G=\{y\}$ ist.

• (c) Zeige, dass G abelsch ist genau dann, wenn alle Konjugiertenklassen einelementig sind.

10.24

Wir definieren eine Relation auf G wie folgt: Für alle $a, b \in G$ sei $a \sim b$ genau dann, wenn $a \in C_G(b)$ ist. Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf G?

10.25

Seien G eine endliche Gruppe und $\alpha$ ein Gruppenautomorphismus von G. Zeige: Wenn die Menge $\{g \in G \mid g^\alpha = g\}$ mehr als $\frac{1}{2} \cdot |G|$ Elemente hat, dann ist $\alpha = \text {id}_G$.

10.26

Seien G eine Gruppe, |G| ein Vielfaches von 5 und $|G| \le 30$. Zeige, dass G genau eine 5-Sylowuntergruppe hat.