Non รจ facile definire che cosa sia un problema inverso anche se, ogni giorno facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi. Ad esempio riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo al lavoro o passeggiamo, riconoscere una persona conosciuta tanti anni prima etc. Eppure la nostra cultura non ha ancora sfruttato appieno queste nostre capacitร , anzi ci insegna la realtร utilizzando i metodi diretti. Ad esempio ai bambini viene insegnato a fare di conto utilizzando le quattro operazioni. Guardiamo ad esempio la moltiplicazione, essa รจ basata sul fatto che presi due fattori e moltiplicati tra di loro si ottiene il loro prodotto. Il corrispondente problema inverso รจ quello di trovare un paio di fattori che diano quel numero. Noi sappiamo che questo problem
puรฒ anche non avere una unica soluzione. Infatti nel cercare di imporre una unicitร della soluzione utilizziamo i numeri primi aprendo un mondo matematico complesso.
Probabilmente il piรน antico problema inverso fu fatto da Erodoto, attraverso l'interpolazione lineare. Il problema diretto รจ quello di di calcolare una funzione lineare, che fornisce un risultato quando si introducono due numeri, ma un problema inverso come quello dell'interpolazione lineare puรฒ avere una soluzione, nessuna soluzione, infinite soluzioni in relazione al numero e alla natura dei punti. Poichรฉ esiste una stretta dipendenza tra il problema diretto e quello inverso, รจ buona norma impratichirsi con il problema diretto prima di affrontare il problema inverso. Questo approccio richiede che, soprattutto quando si ha a che fare con modelli fisico matematici, si sviluppi una strategia sul modello diretto, utilizzando tutti gli strumenti della conoscenza. Ad esempio cercare le soluzioni di tutte le possibili combinazioni che possono essere ottenute utilizzando vari dati di input; fare una presentazione grafica dei risultati che ci permettono, da una o piรน curve, ricavare i
limiti di utilizzabiliร del modello. Iproblemi inversi hanno avuto una notevole influenza sulla scienza, anche se l'approccio convenzionale รจ quello di privilegiare il problema diretto. Tuttavia con l'avvento dei calcolatori i problemi inversi hanno beneficiato di parecchi vantaggi tra cui quello di meglio controllare le instabilitร computazionali e di affrontare problemi che richiedevano un grande sforzo computazionale, se fatti a mano, che non avrebbero portato ad alcun risultato tangibile. Nonostante questo le percentuali di successo per la soluzione dei problemi inversi sono ancora basse e quindi c'รจ necessitร di nuovo e piรน approfondito lavoro che questo libro i tratteggia fornendo lo stato dell'arte della scienza dei problemi inversi con appliczioni alla geofisica, fisica dell'atmosfera e dell'oceano e terilevamento da satellite.