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Die innere Geometrie der metrischen Räume

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  • © 1961

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Part of the book series: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (GL, volume 105)

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About this book

Die innere Geometrie einer Fläche ist die Lehre von denjenigen Eigenschaften, die bei isometrischen Abbildungen ungeändert bleiben, also nur von ihrer ersten Fundamentalform abhängen. Sie wurde von C. F. GAUSS durch die Entdeckung begründet, daß das Produkt der Hauptkrümmungsradien einer Fläche eine isometrische Invariante ist. B. RIEMANN dehnte diese Theorie in seiner Habilitationsschrift auf mehr­ dimensionale und damit gleichzeitig auf abstrakte Mannigfaltigkeiten aus. Während man zunächst nur das Studium solcher Mannigfaltigkeiten in Betracht zog, deren Bogenelement durch die Quadratwurzel aus einer quadratischen Differentialform gegeben ist, entwickelte P. FINSLER in seiner Dissertation die innere Geometrie auf der Grundlage eines all­ gemeinen Bogenelementes, eine Möglichkeit, die bereits B. RIEMANN erkannt hatte. Seit den klassischen Untersuchungen von J. HADAMARD über Flächen konstanter negativer Krümmung und von D. HILBERT über die Existenz von Extremalen bei Variationsproblemen setzte sich die Erkenntnis immer mehr durch, daß ein großer Teil der Methoden, insbesondere diejenigen, welche in der Differentialgeometrie im Großen entwickelt worden sind, nur die topologische und metrische Struktur der Mannigfaltigkeiten, nicht aber ihre Differenzierbarkeitsstruktur be­ nötigen. Der von FREcHET geschaffene Begriff des metrischen Raumes ermöglichte es, die innere Geometrie auf einer von Differenzierbarkeits­ voraussetzungen freien Grundlage zu stellen. Zunächst stand jedoch die Topologie der metrischen Räume im Vordergrund des Interesses. Erst mit K. MENGER setzte ein systematisches Studium der isometrischen Invarianten ein. Inzwischen ist eine umfangreiche Literatur entstanden. Die Hauptergebnisse sind in den drei Büchern von A. D. ALEXANDROW[6J, L. M. BLuMENTHAL [1J und H.

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Table of contents (10 chapters)

Authors and Affiliations

  • Ernst Moritz Arndt-Universität, Greifswald, Germany

    Willi Rinow

Bibliographic Information

  • Book Title: Die innere Geometrie der metrischen Räume

  • Authors: Willi Rinow

  • Series Title: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

  • DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-11499-5

  • Publisher: Springer Berlin, Heidelberg

  • eBook Packages: Springer Book Archive

  • Copyright Information: Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1961

  • Softcover ISBN: 978-3-662-11500-8Published: 10 November 2013

  • eBook ISBN: 978-3-662-11499-5Published: 29 July 2013

  • Series ISSN: 0072-7830

  • Series E-ISSN: 2196-9701

  • Edition Number: 1

  • Number of Pages: XV, 520

  • Topics: Mathematics, general

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