The European Physical Journal H

, Volume 42, Issue 4–5, pp 537–556 | Cite as

A contemporary look at Hermann Hankel’s 1861 pioneering work on Lagrangian fluid dynamics

  • Uriel Frisch
  • Gérard Grimberg
  • Barbara Villone
Regular Article

Abstract

The present paper is a companion to the paper by Villone and Rampf (2017), titled “Hermann Hankel’s On the general theory of motion of fluids, an essay including an English translation of the complete Preisschrift from 1861” together with connected documents [Eur. Phys. J. H 42, 557–609 (2017)]. Here we give a critical assessment of Hankel’s work, which covers many important aspects of fluid dynamics considered from a Lagrangian-coordinates point of view: variational formulation in the spirit of Hamilton for elastic (barotropic) fluids, transport (we would now say Lie transport) of vorticity, the Lagrangian significance of Clebsch variables, etc. Hankel’s work is also put in the perspective of previous and future work. Hence, the action spans about two centuries: from Lagrange’s 1760–1761 Turin paper on variational approaches to mechanics and fluid mechanics problems to Arnold’s 1966 founding paper on the geometrical/variational formulation of incompressible flow. The 22-year-old Hankel − who was to die 12 years later — emerges as a highly innovative master of mathematical fluid dynamics, fully deserving Riemann’s assessment that his Preisschrift contains “all manner of good things.”

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References

  1. 1.
    Arnold, V. 1963. Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian. Uspehi Mat. Nauk 18: 13–40. MathSciNetGoogle Scholar
  2. 2.
    Arnold, V. 1966. Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l’hydrodynamique des fluides parfaits. Annales de l’Institut Fourier 16: 1, 319–361. CrossRefMATHGoogle Scholar
  3. 3.
    Arnold, V. and B. Khesin. 1998. Topological methods in hydrodynamics, Springer, New York. Google Scholar
  4. 4.
    Auerbach, F. 1881. Die theoretische Hydrodynamik nach dem Gange ihrer Entwickelung in der neuesten Zeit in Kürze dargestellt: von dem K. Venetianischen Institut der Wissenschaften gekrönte Preisschrift, F. Vieweg und Sohn, Braunschweig Google Scholar
  5. 5.
    Beltrami, E.: Sui principi fondamentali della idrodinamica. Mem. Acad. Sci. Bologna C 1, 431–476; 2 A872, 381–437; 3 A873, 349–407; 5 A874, 443–484, Richerche sulla cinematica dei fluidi Opere Matematiche Tome 2 Milano 1904, pp. 202–379. MathSciNetGoogle Scholar
  6. 6.
    Bernoulli, Johann (John). 1717. Letter from John Bernoulli to Pierre Varignon, dated 26 January 1717. Nouvelle mécanique, ou Statique, dont le projet fut donné en M. DC. LXXXVII; ouvrage posthume de M. Varignon, T. 2, Paris 1725: 174–176. Google Scholar
  7. 7.
    Besse, N. and U. Frisch. 2017. Geometric formulation of the Cauchy invariants for incompressible Euler flow in flat and curved spaces. J. Fluid Mech. 825: 412–478. ADSMathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  8. 8.
    Bourguignon, J.P. and H. Brezis. 1974. Remarks on the Euler equation. J. Funct. Anal. 15: 341–363. MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  9. 9.
    Brachet, M.E., D.I. Meiron, S.A. Orszag, B.G. Nickel, R.H. Morf and U. Frisch. 1983. Small-scale structure of the Taylor-Green vortex. J. Fluid Mech. 133: 411–452. ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  10. 10.
    Bretherton, F. 1970. A note on Hamilton’s principle for perfect fluids. J. Fluid Mech. 44: 1, 19–31. ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  11. 11.
    Burau, W. 1970–1980. Clebsch, Rudolf Friedrich Alfred. In Dictionary of scientific biography 3: 313–315, Charles Scribner Sons, New York. Google Scholar
  12. 12.
    Cauchy, A.-L. 1815/1827. Théorie de la propagation des ondes à la surface d’un fluide pesant d’une profondeur indéfinie − Prix d’analyse mathématique remporté par M. Augustin-Louis Cauchy, ingénieur des Ponts et Chaussées. (Concours de 1815). Mémoires présentés par divers savans à l’Académie royale des sciences de l’Institut de France et imprimés par son ordre. Sciences mathématiques et physiques. Tome I, imprimé par autorisation du Roi à l’Imprimerie royale: 5–318. Google Scholar
  13. 13.
    Cauchy, A.-L. 1846. Sur les intégrales qui s’étendent à tous les points d’une courbe fermée. Comptes Rendus Académie des Sciences 23: 251–255, Oeuvres 1ere série tome X, 70–74. Google Scholar
  14. 14.
    Clebsch, A. 1857. Über eine allgemeine Transformation der hydrodynamischen Gleichungen. J. Reine Angew. Math. 54: 293–312. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  15. 15.
    Clebsch, A. 1859. Über die Integration der hydrodynamischen Gleichungen. J. Reine Angew. Math. 56: 1–10. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  16. 16.
    Clebsch, A. 1862. Über das Pfaffsche Problem. J. Reine Angew. Math. 60: 193–251. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  17. 17.
    D’Alembert, J.L.R. 1743. Traité de dynamique, Paris. Google Scholar
  18. 18.
    Dahan Dalmedico, A. 1993. Mathématisations. Augustin-Louis Cauchy et l’école française. Editions du choix, Librairie A. Blanchard, Paris. Google Scholar
  19. 19.
    Darboux, G. 1882. Sur le problème de Pfaff. Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 6: 1, 14–36. MATHGoogle Scholar
  20. 20.
    Darrigol, O. 2005. Worlds of flow: A history of hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press. Google Scholar
  21. 21.
    Dictionary of scientific biography 1970–1980, 16 Vol., ed. Charles Coulston Gillipsie, Charles Scribner Sons, New York. Google Scholar
  22. 22.
    Dombre, T., U. Frisch, M. Greene, and M. Hénon. 1986. Chaotic streamlines in the ABC flows. J. Fluid Mech. 167: 353–391. ADSMathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  23. 23.
    Duhem P. 1901. Sur les équations de l’hydrodynamique. Commentaire à un mémoire de Clebsch. Annales de la faculté des sciences de Toulouse 2e série, tome 3, no 2, pp. 253-279. Google Scholar
  24. 24.
    Ebin, D. and J. Marsden. 1970. Groups of diffeomorphisms and the notion of an incompressible fluid. Ann. of Math. 2: 102–163. CrossRefMATHGoogle Scholar
  25. 25.
    Euler, L. 1744. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, Lausanne & Geneve. Reprinted in Opera Omnia Series 1, Vol. 24. Google Scholar
  26. 26.
    Euler, L. 1750. Reflexions sur quelques loix générales de la nature qui s’observent dans les effets des forces quelconques. Mémoires de l’académie des sciences de Berlin 4: 189–218. Google Scholar
  27. 27.
    Euler, L. 1760. Lettre de M. Euler à M. de La Grange. Mélange de Philosophie et de mathématique de la sociéte Royale 1760-1761, tome II, deuxième partie, 1–10. Google Scholar
  28. 28.
    Fraser, C.G. 1983. J. L. Lagrange’s early contributions to the principles and methods of mechanics. Archive for history of exact sciences. 28, 3: 197–241. ADSMathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  29. 29.
    Fraser, C.G. 2003. The calculus of variation: A historical survey. In A history of analysis, American Mathematical Society. 355–384. Google Scholar
  30. 30.
    Freudenthal, H. 1975. Riemann, Georg Friedrich Bernhard. In Dictionary of scientific Biography 11: 447–456, Charles Scribner Sons, New York. Google Scholar
  31. 31.
    Frisch U. and B. Villone 2014. Cauchy’s almost forgotten Lagrangian formulation of the Euler equation for 3D incompressible flow. The European Physical Journal H. 39: 325–351. Google Scholar
  32. 32.
    Goldstine, H.H. 1980. A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences 5, Berlin - Heidelberg - New York, Springer Verlag. Google Scholar
  33. 33.
    Günther, N.M. 1926. Über ein Hauptproblem der Hydrodynamik. Math. Zeitschrift 24: 448–499. MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  34. 34.
    Hadamard, J. 1903. Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l’hydrodynamique, Paris. Google Scholar
  35. 35.
    Hamilton, W.R. 1834. On a general method in dynamics. Phil. Trans. R. Soc. Part 2: 247–308. CrossRefGoogle Scholar
  36. 36.
    Hamilton, W.R. 1835. Second essay on a general method in dynamics. Phil. Trans. R. Soc. Part 1: 95–144. CrossRefGoogle Scholar
  37. 37.
    Hankel, H. 1861. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten. Eine von der philosophischen Facultät der Georgia Augusta am 4. Juni 1861 gekrönte Preisschrift, Göttingen. Google Scholar
  38. 38.
    Hankel, H. 1863. [A Review about] Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten. Die Fortschritte der Physik 17: 57–61. Google Scholar
  39. 39.
    Hawkins, G. 2013. The problem of Pfaff. In The mathematics of Frobenius in context, 155-204, Springer, New York. Google Scholar
  40. 40.
    Helmholtz, H. 1858. Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen. J. Reine Angew. Math. 55: 25–55. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  41. 41.
    Hunger, U. 2002. Die Georgia Augusta als hannoversche Landesuniversität. Von ihrer Gründung bis zum Ende des Königreichs. In Geschichte einer Universitätsstadt 2: 139–213, Ernst Böhme/Rudolf Vierhaus, Göttingen. Google Scholar
  42. 42.
    Jacobi, C.G.J. 1837. Über die Reduction der Integration der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen irgend einer Zahl Variabeln auf die Integration eines einzigen Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen, J. Reine Angew. Math. 17: 1–189. MathSciNetGoogle Scholar
  43. 43.
    Jacobi, C.G.J. 1866. Vorlesungen über Dynamik. Herausgegeben von A. Clebsch, Reimer, Berlin. Google Scholar
  44. 44.
    Katz, V.J. 1979. The history of Stokes’ theorem. Math. Mag. 52: 3, 146–156. MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  45. 45.
    Kolmogorov, A.N. 1954/1957. The general theory of dynamical systems and classical mechanics. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Amsterdam, 1954) 1, pp. 315–333, North Holland, Amsterdam, 1957 [in Russian]. [Reprinted in: International Mathematical Congress in Amsterdam, 1954 (Plenary Lectures), pages 187–208. Fizmatgiz, Moscow, 1961 English translation as Appendix D in R.H. Abraham Foundations of Mechanics, pages 263–279. Benjamin, 1967. Reprinted as Appendix in R.H. Abraham and J.E. Marsden, Foundations of Mechanics, second edition, pages 741–757. Benjamin/Cummings 1978.] Google Scholar
  46. 46.
    Kotiuga, P.R. 1991. Clebsch potentials and the visualization of three-dimensional solenoidalvector fields. IEEE Transactions on Magnetics 27: 5, 3986–3989. ADSCrossRefGoogle Scholar
  47. 47.
    Lagrange, J.L. 1760–1761. Application de la méthode exposée dans le Mémoire précédent à la solution de différents problèmes de dynamique, Miscellanea Taurinensia, Oeuvres. 1: 365–468. Google Scholar
  48. 48.
    Lagrange, J.L. 1764. Recherches sur la libration de la Lune dans lesquelles on tâche de résoudre la question proposée par l’Académie Royale des Sciences pour le Prix de l’année 1764. Prix de l’Académie Royale des Sciences de Paris. Tome IX 1764, Oeuvres 6: 5–61. Google Scholar
  49. 49.
    Lagrange, J.L. 1788. Traité de méchanique analitique, Paris. Google Scholar
  50. 50.
    Lamb H. 1895. Hydrodynamics, first edition, Cambridge. Google Scholar
  51. 51.
    Lanczos, C. 1970. The variational principles of mechanics, Dover Publications, New York. Google Scholar
  52. 52.
    Landau, L.D. and E.M. Lifshitz. 1976. Mechanics, Course of theoretical physics 1, third edition, Elsevier. Google Scholar
  53. 53.
    Lejeune-Dirichlet, G. 1860. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik. Abhandlung der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen 8: 3–42. Google Scholar
  54. 54.
    Lichtenstein, L. 1927. Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik. Zweite Abhandlung. Nichthomogene, unzusammendrückbare, reibungslose Flüssigkeiten. Mathematische Zeitschrift 26, 1, 196–323. MATHGoogle Scholar
  55. 55.
    Lipschitz R. 1870.–1871 Sopra la teoria della inversione di un sistema di funzioni. Annali matemática pura e applicata, Serie II, Tomo IV, 239–259. Google Scholar
  56. 56.
    de Maupertuis, P.L.M. 1740. La loi du repos des corps. Histoire de l’Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique, 170–176. Google Scholar
  57. 57.
    de Maupertuis, P.L.M. 1744. Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu’ici paru incompatibles. Histoire de l’Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique 417–426. Google Scholar
  58. 58.
    Minkowski, H. 1905. Peter Gustav Lejeune Dirichlet und seine Bedeutung für die heutige Mathematik. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 14: 149–163. MATHGoogle Scholar
  59. 59.
    Moffatt, H.K. 1969. The degree of knottedness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech. 35: 117–129. ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  60. 60.
    Moreau, J.J. 1961. Constantes d’un îlot tourbillonnaire en fluide parfait barotrope. C.R. Acad. Sci. Paris 252: 2810–2812. MathSciNetMATHGoogle Scholar
  61. 61.
    Moser, J.K. 1962. On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. −Phys. Kl II 1: 1–20. MathSciNetMATHGoogle Scholar
  62. 62.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl- Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1857: 205–209. Google Scholar
  63. 63.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl-Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1859: 191–196. Google Scholar
  64. 64.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl-Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. 1860a: 88–89. Google Scholar
  65. 65.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl- Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1860b: 183–187. Google Scholar
  66. 66.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl-Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1860c: 237. Google Scholar
  67. 67.
    Nachrichten von der Georg-Augusta-Universität und der Königl-Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 1861: 121–122. Google Scholar
  68. 68.
    Ore, O. 1859. Dirichlet, Gustav Peter Lejeune. In Dictionary of scientific Biography 4: 123–127, Charles Scribner Sons, New York. Google Scholar
  69. 69.
    Pfaff, J.F. 1814. Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, complete integrandi. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin, 76–136. Google Scholar
  70. 70.
    Price, J. F. 2006. Lagrangian and eulerian representations of fluid flow: Kinematics and the equations of motion. Woods Hole Oceanographic Institution, Woods Hole, MA 2543, 13. Google Scholar
  71. 71.
    Riemann, B. 1857. Lehrsätze aus der analysis situs für die Theorie der Integrale von zweigliedrigen vollständigen Differentialen. J. Reine Angew. Math. 54, 105–110. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  72. 72.
    Riemann, B. 1861a Commentatio mathematica, qua respondere tentatur quaestioni ab Illma AcademiaParisiensi propositae. Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke, edited by Heinrich Weber, second edition, Teubner 1892, 391–404. Google Scholar
  73. 73.
    Riemann, B. 1861b Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegungen eines gleichartigen flüssigen Ellipsoids. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen 9: 3–36. Google Scholar
  74. 74.
    Roy, R. 2011. Sources in the Development of Mathematics: Series and Products from the Fifteenth to the Twenty-first Century, Cambridge. Google Scholar
  75. 75.
    Taylor, G.I., and A.E. Green. 1937. Mechanism of the production of small eddies from large ones. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Sci. 158, 895: 499–521. ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  76. 76.
    Thomson, W. (Lord Kelvin). 1869. On vortex motion. Trans R Soc Edinb 25: 217–260. CrossRefGoogle Scholar
  77. 77.
    Truesdell, C. 1954a The kinematics of vorticity, Indiana University Science Series no. 19 Indiana University Press (Bloomington). Google Scholar
  78. 78.
    Truesdell, C. 1954b. ‘ Rational fluid mechanics, 1657–1765. ’ In Euler, Opera omnia, ser. 2, 12 (Lausanne), IX–CXXV. Google Scholar
  79. 79.
    Truesdell, C. 1960. The rational mechanics of flexible or elastic bodies 1638–1788. Introduction to Vol. X and XI, Leonhardi Euleri Opera Omnia, Birkhäuser. Google Scholar
  80. 80.
    Truesdell, C. Toupin R.A. 1960. Classical fields theory, in Encyclopedia of physics, ed. S. Flugge, Vol. III/1, Principles of classical mechanics and field theory, Springer Verlag, pp. 226-793. Google Scholar
  81. 81.
    Various Authors. 1873a. Zum Andenken an Rudolf Friedrich Alfred Clebsch. Mathematische Annalen 6: 197–202. Google Scholar
  82. 82.
    Various Authors. 1873b. Versuch einer Darlegung und Würdigung seiner wissenschaftlichen Leistungen von einigen seiner Freunde: “R.F. Alfred Clebsch’s Mathematische Arbeiten”, Mathematische Annalen 7: 1–50. MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  83. 83.
    Villone, B. and C. Rampf 2017. Hermann Hankel’s On the general theory of motion of fluids, an essay including an English translation of the complete Preisschrift from 1861 Göttingen, and connected documents, Eur. Phys. J. H 42: 557–609.CrossRefGoogle Scholar
  84. 84.
    Wolibner, W. 1933. Un theorème sur l’existence du mouvement plan d’un fluide parfait, homogène, incompressible, pendant un temps infiniment long, Mathematische Zeitschrift 37, 698–726. MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  85. 85.
    Woodruff, A.E. 1976. Weber, Wilhelm Eduard. In Dictionary of scientific biography 14: 203–209. Charles Scribner Sons, New York. Google Scholar
  86. 86.
    von Zahn, G.W. 1874. Einige Worte zum Andenken an Hermann Hankel, Mathematische Annalen 7: 583–590. CrossRefMATHGoogle Scholar
  87. 87.
    Zakharov, V., V. Lvov and G. Falkovich. 1992. Kolmogorov spectra of turbulence, Springer, Berlin. Google Scholar

Copyright information

© EDP Sciences and Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2017

Authors and Affiliations

  1. 1.Université Côte d’Azur, OCA, Lab. LagrangeNice Cedex 4France
  2. 2.Instituto de Matematica − UFRJRio de JaneiroBrazil
  3. 3.INAF, Osservatorio Astrofisico di TorinoPino TorineseItaly

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