Proof of the ergodic theorem and the H-theorem in quantum mechanics

Translation of: Beweis des Ergodensatzes und des H-Theorems in der neuen Mechanik

Abstract

It is shown how to resolve the apparent contradiction between the macroscopic approach of phase space and the validity of the uncertainty relations. The main notions of statistical mechanics are re-interpreted in a quantum-mechanical way, the ergodic theorem and the H-theorem are formulated and proven (without “assumptions of disorder”), followed by a discussion of the physical meaning of the mathematical conditions characterizing their domain of validity.

This is a preview of subscription content, access via your institution.

References

  1. 1.

    N. Bohr, Sommerfeld and atomic theory, Naturwissenschaften 16(15), 1036 (1928)

  2. 2.

    P. Dirac, On the Theory of Quantum Mechanics, Proceedings of the Royal Society (A) 112(762), 661–677 (1926)

    Article  Google Scholar 

  3. 3.

    P. Dirac, The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics, Proceedings of the Royal Society 113(765), 621–641 (1927)

    Article  Google Scholar 

  4. 4.

    P. Dirac, The basis of statistical quantum mechanics, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 25(1), 62–66 (1929)

    MATH  Article  Google Scholar 

  5. 5.

    P. Ehrenfest, T. Ehrenfest, Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik, in Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen(Teubner, Leipzig, 1911), Vol. 4, pp. 3–76, available online at http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?IDDOC=183743 (accessed 10 February 2010), reprinted p. 213 in P. Ehrenfest: Collected Scientific Papers (North-Holland, Amsterdam, 1959), English translation by M.J. Moravcsik in P. Ehrenfest, T. Ehrenfest, The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics(Cornell University Press, Ithaca, 1959)

  6. 6.

    P. Ehrenfest, T. Ehrenfest, Über zwei bekannte Einwände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Physikalische Zeitschrift 8, 311 (1907)

    Google Scholar 

  7. 7.

    F.G. Frobenius, Über lineare Substitutionen und bilineare Formen. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik 84, 59 (1877)

    Google Scholar 

  8. 8.

    W. Heisenberg, Mehrkörperprobleme und Resonanz in der Quantenmechanik. II, Z. Phys. 41(8-9), 239 (1927)

  9. 9.

    W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, Z. Phys. 43(3-4), 172 (1927)

  10. 10.

    E. Hellinger, O. Toeplitz, Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlichvielen Unbekannten, in Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen(Teubner, Leipzig, 1927), Vol. 2, pp. 1335–1597, available online at http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?IDDOC=183743

  11. 11.

    L. Kronecker, Die Periodensysteme von Functionen reeller Variabeln, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1884(2), 1071–1080 (1884), available online at http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/#A10

    Google Scholar 

  12. 12.

    L. Kronecker, Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1884(2), 1179–1193 (1884), available online at http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/#A10

    Google Scholar 

  13. 13.

    L. Nordheim, On the Kinetic Method in the New Statistics and Its Application in the Electron Theory of Conductivity, Proceedings of the Royal Society 119(783), 689–698 (1928)

    Article  Google Scholar 

  14. 14.

    W. Pauli, Über das H-Theorem vom Anwachsen der Entropie vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik, in Probleme der modernen Physik: Arnold Sommerfeld zum 60. Geburtstage gewidmet von seinen Schülern (Hirzel, Leipzig, 1928), pp. 30–45, Reprinted in W. Pauli, Collected scientific papers, edited by R. Kronig, V.F. Weisskopf (Interscience, New York, 1964), Vol. 1

  15. 15.

    E. Schmidt , Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, Mathematische Annalen 63, 433 (1907)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  16. 16.

    E. Schrödinger, Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen, Annalen der Physik 79(8), 734 (1926), English translation by J.F. Shearer, W.M. Deans, On the Relation between the Quantum Mechanics of Heisenberg, Born, and Jordan, and that of Schrödinger, in E. Schrödinger, Collected Papers on Wave Mechanics, Providence, R.I., AMS Chelsea (1982), pp. 45–61

  17. 17.

    E. Schrödinger, Energieaustausch nach der Wellenmechanik, Annalen der Physik 83(15), 956 (1927), English translation by J.F. Shearer, W.M. Deans, The Exchange of Energy according to Wave Mechanics, in E. Schrödinger, Collected Papers on Wave Mechanics, Providence, R.I.: AMS Chelsea (1982), pp. 137–146

  18. 18.

    J. von Neumann, Mathematische Begründung der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten 1–57 (1927), Reprinted in J. von Neumann, Collected Works, edited by A.H. Taub (Pergamon, New York, 1961), Vol. I

  19. 19.

    J. von Neumann, Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik, Göttinger Nachrichten 245–272 (1927), Reprinted in J. von Neumann, Collected Works, edited by A.H. Taub (Pergamon, New York, 1961), Vol. I

  20. 20.

    J. von Neumann, Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten, Göttinger Nachrichten 273–291 (1927), Reprinted in J. von Neumann, Collected Works, edited by A.H. Taub (Pergamon, New York, 1961), Vol. I

  21. 21.

    H. Weyl , Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Mathematische Annalen 77, 313 (1916)

    MATH  Article  MathSciNet  Google Scholar 

  22. 22.

    H. Weyl , Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen. I-III, Mathematische Zeitschrift 23, 271 (1925)

    Article  MathSciNet  Google Scholar 

  23. 23.

    H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik(Leipzig, 1928)

  24. 24.

    E. Wigner, Über nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie. Erster Teil, Z. Phys. 40(7), 492 (1927)

    Google Scholar 

  25. 25.

    E. Wigner, Über nicht kombinierende Terme in der neueren Quantentheorie. II. Teil, Z. Phys. 40(11-12), 883 (1927)

    Article  ADS  Google Scholar 

  26. 26.

    E. Wigner, Einige Folgerungen aus der Schrödingerschen Theorie für die Termstrukturen, Z. Phys. 43(9-10), 624 (1927)

    Article  ADS  Google Scholar 

Download references

Authors

Electronic supplementary material

Supplementary PDF file

PDF file

Rights and permissions

Reprints and Permissions

About this article

Cite this article

von Neumann, J. Proof of the ergodic theorem and the H-theorem in quantum mechanics. EPJ H 35, 201–237 (2010). https://doi.org/10.1140/epjh/e2010-00008-5

Download citation

Keywords

  • Entropy
  • Energy Surface
  • Unit Sphere
  • Uncertainty Relation
  • Phase Cell