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V.A. Steklov’s problem of estimating the growth of orthogonal polynomials

  • A. I. Aptekarev
  • S. A. Denisov
  • D. N. Tulyakov
Article
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Abstract

The well-known problem of V.A. Steklov is closely related to the following extremal problem. For a fixed n ∈ ℕ, find \(M_{n,\delta } = sup_{\sigma \in S_\delta } \left\| {\varphi _n } \right\|_{L^\infty (\mathbb{T})}\), where ϕ n (z) is an orthonormal polynomial with respect to a measure σS δ and S δ is the Steklov class of probability measures σ on the unit circle such that σ′(θ) ≥ δ/(2π) > 0 at every Lebesgue point of σ. There is an elementary estimate M n ≲ √n. E.A. Rakhmanov proved in 1981 that M n ≳ √n/(ln n)3/2. Our main result is that M n ≳ √n, i.e., that the elementary estimate is sharp. The paper gives a survey of the results on the solution of this extremal problem and on the general problem of Steklov in the theory of orthogonal polynomials. The paper also analyzes the asymptotics of some trigonometric polynomials defined by Fejér convolutions. These polynomials can be used to construct asymptotic solutions to the extremal problem under consideration.

Keywords

Unit Circle Entire Function STEKLOV Institute Orthogonal Polynomial Extremal Problem 
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Copyright information

© Pleiades Publishing, Ltd. 2015

Authors and Affiliations

  • A. I. Aptekarev
    • 1
  • S. A. Denisov
    • 2
  • D. N. Tulyakov
    • 1
  1. 1.Keldysh Institute of Applied MathematicsRussian Academy of SciencesMoscowRussia
  2. 2.Department of MathematicsUniversity of Wisconsin-MadisonMadisonUSA

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