Arithmetical and Algebraic Types of Reasoning Used by Pre-service Teachers in a Problem-Solving Context

Abstract

The problem concerning the linkage between arithmetic teaching and algebra teaching involves the relationship that the instructor—or the pre-service teacher—inherently adopts towards these two fields, especially because this relationship has an impact on the teaching choices that he or she will eventually make when introducing algebra. An experiment to test whether pre-service teachers manage to establish a dialectic between these two types of reasoning in the context of problem solving was conducted with three groups of pre-service teachers (164 participants). A series of interviews conducted with several participants, primarily in dyads, highlight the gap that exists between the modes of reasoning deployed by participants in each group.

Résumé

La perspective d’une saine articulation entre arithmétique et algèbre conduit à se questionner sur la dichotomie qui s’installe entre ces deux domaines chez des sujets ayant bénéficié d’un enseignement dans ces deux domaines. Ce questionnement renvoie bien sûr à l’élève, à ses difficultés, stratégies et modes de raisonnement. Il renvoie également, cependant, à l’enseignant ou l’enseignante qui lui, dans la gestion des situations didactiques, est aux prises avec des choix à poser au regard des situations et approches à privilégier dans le contexte d’une introduction à l’algèbre. Ces choix sont tributaires, entre autres, de la relation que l’enseignant entretient a priori avec le savoir à enseigner et ils orientent la prise en charge du savoir par l’élève. La question se pose alors de l’habileté des enseignants et enseignantes, ou futurs enseignants et enseignantes, à effectuer les interventions didactiques pertinentes à la jonction arithmétique/algèbre.

Le but poursuivi par cette recherche consiste à mettre en évidence l’articulation que les futurs enseignants et enseignantes sont à même ou non d’établir entre arithmétique et algèbre, au regard de différents problèmes «arithmétiques» et «algébriques» à résoudre: peuvent-ils passer facilement à l’algèbre lorsque la situation sollicite un tel passage? Voient-ils la pertinence d’un passage à l’algèbre ou d’un retour éventuel à l’arithmétique? Comment peut-on expliquer la dissociation qui s’installe entre ces deux domaines de connaissances? En cherchant à comprendre comment se caractérisent les raisonnements arithmétiques et algébriques mis en place spontanément et comment ceux-ci se distinguent à travers les incompréhensions qui surgissent de part et d’autre, cette étude jette un éclairage au plan cognitif sur les différences et oppositions fondamentales entre ces deux types de raisonnements.

Dans cette perspective, une expérimentation a été conduite auprès de trois groupes de futurs enseignants et enseignantes: étudiants et étudiantes inscrits au baccalauréat en enseignement préscolaire et primaire, au baccalauréat en adaptation scolaire et au baccalauréat en enseignement des mathématiques au secondaire. Dans une première étape, une épreuve écrite contenant huit problèmes (quatre problèmes «arithmétiques» et quatre problèmes «algébriques», sélectionnes à partir de la grille d’analyse des problèmes développée par Bednarz et Janvier, 1996) a été présentée à tous les sujets. L’analyse des procédures utilisées pour résoudre ces problèmes a permis d’identifier des classes de sujets ayant des procédures de résolution très typées pour l’ensemble de ces problèmes. Certains étudiants-maîtres ont tendance à résoudre ces problèmes par un raisonnement arithmétique (de type essais numériques ou de type structure), tandis que d’autres ont recours majoritairement à un raisonnement algébrique, et d’autres enfin ont démontre une tendance mixte, en utilisant parfois l’arithmétique, parfois l’algèbre.

Différents protocoles d’entrevues ont alors été élaborés pour chacun de ces trois groupes de sujets; des entrevues individuelles — filmées sur vidéo—ont été effectuées conformément à ces trois protocoles (huit sujets par groupe). Des entrevues dyadiques (quatre dyades) devant confronter un sujet à tendance «arithmétique» et un sujet à tendance «algébrique», dont l’objectif consiste à faire ressortir davantage, en complémentarité, à travers les incompréhensions qui surgissent entre les deux modes de raisonnement, constituent la troisième phase de notre recherche. Dans cet article, une attention spéciale est portée sur les résultats de ces entrevues par dyade.

Cette étude doit être considérée dans une perspective exploratoire, les observations rapportées ici concernant un très petit nombre de sujets. Elle pointe, entre autres, le fossé qui existe entre le raisonnement arithmétique de type structure et le raisonnement algébrique (raisonnement en termes de relations, versus raisonnement en termes d’états; contrôle sémantique versus contrôle formel des écritures symboliques), et elle débouche vers une meilleure connaissance des problèmes forçant les limites des connaissances arithmétiques antérieures du sujet «structure» et susceptibles de motiver un éventuel passage à l’algèbre (les relations très complexes et la variation des contraintes à l’intérieur d’un même contexte amenant ce type de sujet à reconnaître la pertinence de l’algèbre). En ce qui a trait aux sujets arithmétiques de type «essais numériques», cette recherche porte à croire que seule la prise en compte de leurs difficultés (nature séquentielle et locale des raisonnements qu’ils utilisent, statut qu’ils accordent au symbolisme) leur permettra d’accéder à l’algèbre.