Dimension de Hausdorff de la Nervure

Abstract

For a separable Hilbert space E whose dimension is ≥2 and for an open subset Ω of E, not empty and different from E, let $\mathcal{M}$ be the set of all points of Ω which have at least two projections on the close set E\Ω, and let $\mathcal{N}$ be the set of all the centres of the open balls contained in Ω and which are maximal for inclusion. We show that the Hausdorff dimension dim_H($\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$) of $\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$ may be any real value s such that 0≤s≤dim E; we also show that Ω can be chosen so that $\mathcal{N}$ is everywhere dense in Ω and so that we have dim_H($\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$)=1.

Associons à un ouvert Ω d'un espace de Hilbert séparable E de dimension ≥2, non vide et distinct de E, l'ensemble $\mathcal{M}$ des points de Ω admettant plusieurs projections sur le fermé E\Ω, et l'ensemble $\mathcal{N}$ des centres des boules ouvertes inclues dans Ω et maximales pour l'inclusion. Nous montrons d'une part que la dimension de Hausdorff dim_H($\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$) de $\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$ peut prendre toute valeur réelle s telle que 0≤s≤dim E, et d'autre part qu'on peut choisir Ω de sorte que $\mathcal{N}$ soit dense dans Ω et qu'on ait dim_H($\mathcal{N}$\$\mathcal{M}$)=1.