Résumé
Dans cet article, nous montrons que le Problème Inverse de la théorie de Galois admet une réponse positive sur certains corps de fractions tordus \(H(t,\alpha ,\delta )\) non triviaux.
Abstract
In this article, we show that the Inverse Galois Problem has a positive answer over some non-trivial skew fields of fractions \(H(t,\alpha ,\delta )\).
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Notes
Notion introduite par Pop, qui appelle ces corps “large”. Il s’agit des corps commutatifs K qui vérifient que, toute courbe courbe lisse définie sur K et géométriquement irréductible possède une infinité de points K-rationnels dès qu’elle en possède un.
\(\delta :H\longrightarrow H\) est un morphisme additif qui vérifie de plus \(\delta (ab)=\delta (a)b+\alpha (a)\delta (b)\). Lorsque \(\alpha =\)Id, \(\delta \) est une dérivation au sens classique du terme.
\(H((t,\alpha ))\) est le complété en t de \(H(t,\alpha )\) et correspond au corps des séries de Laurent tordu par la multiplication induite par la relation \(ta=\alpha (a)t\).
C’est-à-dire, s’il existe \(\lambda \in H\) tel que \(\delta (x)=\lambda x-\alpha (x)\lambda \), pour tout \(x\in H\).
C’est bien la qualité d’anneau de Ore qui permet ce relèvement. Dans le cas général, on peut trouver des anneaux ayant plusieurs corps de fractions non isomorphes.
La version géométrique du Problème de Galois Inverse Régulier est celle obtenue en retirant au problème sérié l’hypothèse d’existence d’un point rationnel non ramifié.
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Deschamps, B. La méthode Behajaina appliquée aux corps de fractions tordus par une dérivation. Res. number theory 7, 39 (2021). https://doi.org/10.1007/s40993-021-00263-z
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