On abelian $\ell$-towers of multigraphs III

Abstract

Let $\ell$ be a rational prime. Previously, abelian $\ell$-towers of multigraphs were introduced which are analogous to $\mathbb {Z}_{\ell }$-extensions of number fields. It was shown that for towers of bouquets, the growth of the $\ell$-part of the number of spanning trees behaves in a predictable manner (analogous to a well-known theorem of Iwasawa for $\mathbb {Z}_{\ell }$-extensions of number fields). In this paper, we extend this result to abelian $\ell$-towers over an arbitrary connected multigraph (not necessarily simple and not necessarily regular). In order to carry this out, we employ integer-valued polynomials to construct power series with coefficients in $\mathbb {Z}_\ell$ arising from cyclotomic number fields, different than the power series appearing in the prequel. This allows us to study the special value at $u=1$ of the Artin–Ihara L-function, when the base multigraph is not necessarily a bouquet.

Résumé

Soit $\ell$ un nombre premier rationnel. Dans un article précédent, les $\ell$-tours abéliennes de multigraphes furent introduites qui peuvent être vues comme étant analogues aux $\mathbb {Z}_{\ell }$-extensions de corps de nombres. Il fut démontré que pour les tours de bouquets, la valuation $\ell$-adique du nombre d’arbres couvrants varie de façon prévisible (de manière analogue à un théorème connu d’Iwasawa pour les $\mathbb {Z}_{\ell }$-extensions de corps de nombres). Dans cet article, nous généralisons ce résultat aux $\ell$-tours abéliennes d’un multigraphe connexe quelconque (non nécessairement simple et non nécessairement regulier). Afin d’accomplir ce but, nous utilisons les polynômes à valeurs entières pour construire des séries entières à coefficients dans $\mathbb {Z}_{\ell }$ provenant des corps cyclotomiques, différentes des séries entières apparaissant dans l’article précédent. Ceci nous permet d’étudier la valeur spéciale en $u=1$ des fonctions L d’Artin-Ihara quand le multigraphe de base n’est pas nécessairement un bouquet.