Distinguished limits and drifts: between nonuniqueness and universality

Abstract

This paper deals with a version of the two-timing method which describes various ‘slow’ effects caused by externally imposed ‘fast’ oscillations. Such small oscillations are often called vibrations and the research area can be referred as vibrodynamics. The governing equations represent a generic system of first-order ODEs containing a prescribed oscillating velocity ${\varvec{u}}$, given in a general form. Two basic small parameters stand in for the inverse frequency and the ratio of two time-scales; they appear in equations as regular perturbations. The proper connections between these parameters yield the distinguished limits, leading to the existence of closed systems of asymptotic equations. The aim of this paper is twofold: (i) to clarify (or to demystify) the choices of a slow variable, and (ii) to give a coherent exposition which is accessible for practical users in applied mathematics, sciences and engineering. We focus our study on the usually hidden aspects of the two-timing method such as the uniqueness or multiplicity of distinguished limits and universal structures of averaged equations. The main result is the demonstration that there are two (and only two) different distinguished limits. The explicit instruction for practically solving ODEs for different classes of ${\varvec{u}}$ is presented. The key roles of drift velocity and the qualitatively new appearance of the linearized equations are discussed. To illustrate the broadness of our approach, two examples from mathematical biology are shown.

Résumé

Cet article traite d’une version de la méthode à deux temps qui décrit divers effets ”lents” causés par des oscillations ”rapides” imposées de l’extérieur. Ces petites oscillations sont souvent appelées vibrations et le domaine de recherche peut être appelé vibrodynamique. Les équations gouvernantes considérées représentent un système générique d’EDOs du premier ordre, contenant une vitesse d’oscillation prescrite ${\varvec{u}}$, donnée sous une forme générale. Deux petits paramètres de base représentent la fréquence inverse et le rapport de deux échelles de temps ; ils apparaissent dans les équations sous forme de perturbations régulières. Les connexions appropriées entre ces paramètres donnent les limites distinguées, menant à l’existence de systèmes fermés d’équations asymptotiques. L’objectif de cet article est double : (i) clarifier les choix de la variable lente, et (ii) donner une exposition cohérente de la méthode, appliquée à la vibrodynamique. Nous concentrons notre étude sur les aspects habituellement cachés de la méthode à deux temps, tels que l’unicité ou la multiplicité des limites distinguées et les structures universelles des équations moyennées. Le résultat principal est la démonstration qu’il existe deux (et seulement deux) limites distinguées différentes. L’instruction explicite pour la manipulation pratique des EDOs pour différentes classes de ${\varvec{u}}$ est présentée. Les rôles clés de la vitesse de dérive sont discutés. Pour illustrer l’étendue de notre approche, deux exemples issus de la biologie mathématique sont présentés. Cet article est accessible aux étudiants en mathématiques appliquées, en physique et en génie.